Номер 517, страница 135 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Площадь. Параграф 3. Теорема Пифагора - номер 517, страница 135.

Условие.

517. Найдите площадь четырёхугольника $ABCD$, в котором $AB=5$ см, $BC=13$ см, $CD=9$ см, $DA=15$ см, $AC=12$ см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Площадь четырёхугольника $ABCD$ можно найти как сумму площадей двух треугольников, на которые его разделяет диагональ $AC$. Таким образом, $S_{ABCD} = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ADC}$.

1. Найдём площадь треугольника $ABC$.

Стороны треугольника $ABC$ равны $AB=5$ см, $BC=13$ см и $AC=12$ см. Проверим, выполняется ли для этого треугольника теорема Пифагора. Найдём квадраты сторон:

$AB^2 = 5^2 = 25$

$AC^2 = 12^2 = 144$

$BC^2 = 13^2 = 169$

Сложим квадраты двух меньших сторон: $AB^2 + AC^2 = 25 + 144 = 169$.

Поскольку $AB^2 + AC^2 = BC^2$, то, по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник $ABC$ является прямоугольным, а его катеты – это стороны $AB$ и $AC$.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30$ см$^2$.

2. Найдём площадь треугольника $ADC$.

Стороны треугольника $ADC$ равны $CD=9$ см, $DA=15$ см и $AC=12$ см. Проверим также, является ли он прямоугольным:

$CD^2 = 9^2 = 81$

$AC^2 = 12^2 = 144$

$DA^2 = 15^2 = 225$

Сложим квадраты двух меньших сторон: $CD^2 + AC^2 = 81 + 144 = 225$.

Поскольку $CD^2 + AC^2 = DA^2$, треугольник $ADC$ также является прямоугольным с катетами $CD$ и $AC$.

Его площадь равна:

$S_{\triangle ADC} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 = 54$ см$^2$.

3. Найдём площадь четырёхугольника $ABCD$.

Сложим площади двух треугольников:

$S_{ABCD} = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ADC} = 30 + 54 = 84$ см$^2$.

Ответ: 84 см$^2$.