Номер 520, страница 135 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Площадь. Параграф 3. Теорема Пифагора - номер 520, страница 135.

Условие.

520 Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны, а сумма оснований равна $2a$. Найдите площадь трапеции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

По условию задачи, диагонали взаимно перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$, а сумма оснований $AD + BC = 2a$.

В равнобедренной трапеции треугольники, образованные пересечением диагоналей с основаниями, являются равнобедренными. Так как диагонали еще и перпендикулярны, то треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$ являются прямоугольными равнобедренными треугольниками, где $AD$ и $BC$ — их гипотенузы.

Высота трапеции $h$ может быть представлена как сумма высот этих двух треугольников, проведенных из вершины $O$ к основаниям. Обозначим их $h_1$ (высота $\triangle AOD$ к стороне $AD$) и $h_2$ (высота $\triangle BOC$ к стороне $BC$).

Высота прямоугольного равнобедренного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине длины гипотенузы. Следовательно: $h_1 = \frac{1}{2} AD$
$h_2 = \frac{1}{2} BC$

Высота всей трапеции равна сумме этих высот: $h = h_1 + h_2 = \frac{1}{2} AD + \frac{1}{2} BC = \frac{AD + BC}{2}$.

Используя условие, что $AD + BC = 2a$, находим высоту трапеции: $h = \frac{2a}{2} = a$.

Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h$.

Подставляя известные значения, получаем: $S = \frac{2a}{2} \cdot a = a \cdot a = a^2$.

Ответ: $a^2$.