Номер 526, страница 135 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Площадь. Параграф 3. Теорема Пифагора - номер 526, страница 135.

Условие.

526 В ромбе высота, равная $\frac{4\sqrt{2}}{6}$ см, составляет $\frac{2}{3}$ большей диагонали. Найдите площадь ромба.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Обозначим высоту ромба как $h$, большую диагональ как $d_1$, меньшую диагональ как $d_2$, сторону ромба как $a$, а его площадь как $S$.

По условию задачи, высота ромба $h = \frac{4\sqrt{2}}{6}$ см. Упростим это выражение:

$h = \frac{4\sqrt{2}}{6} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ см.

Также из условия известно, что высота составляет $\frac{2}{3}$ от большей диагонали:

$h = \frac{2}{3} d_1$

Подставим найденное значение высоты, чтобы найти длину большей диагонали $d_1$:

$\frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{2}{3} d_1$

Из этого уравнения следует, что:

$d_1 = \sqrt{2}$ см.

Площадь ромба можно найти двумя основными способами:

1. Как произведение стороны на высоту: $S = a \cdot h$.

2. Как половина произведения диагоналей: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$.

Приравняем эти два выражения для площади, чтобы установить связь между стороной $a$ и меньшей диагональю $d_2$:

$a \cdot h = \frac{1}{2} d_1 d_2$

Подставим известные значения $h = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ и $d_1 = \sqrt{2}$:

$a \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot d_2$

Сократим обе части уравнения на $\sqrt{2}$:

$a \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{2} d_2$

Выразим $d_2$ через $a$:

$d_2 = 2 \cdot \frac{2}{3} a = \frac{4}{3} a$

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Это означает, что сторона ромба $a$ является гипотенузой прямоугольного треугольника, катеты которого равны половинам диагоналей $(\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2})$. Согласно теореме Пифагора:

$a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2$

Подставим в это уравнение значение $d_1 = \sqrt{2}$ и выражение для $d_2 = \frac{4}{3} a$:

$a^2 = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + (\frac{\frac{4}{3} a}{2})^2$

$a^2 = \frac{2}{4} + (\frac{2a}{3})^2$

$a^2 = \frac{1}{2} + \frac{4a^2}{9}$

Решим полученное уравнение, чтобы найти $a$:

$a^2 - \frac{4a^2}{9} = \frac{1}{2}$

$\frac{9a^2 - 4a^2}{9} = \frac{1}{2}$

$\frac{5a^2}{9} = \frac{1}{2}$

$10a^2 = 9 \implies a^2 = \frac{9}{10}$

Отсюда находим сторону $a$:

$a = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}$ см.

Теперь, зная сторону и высоту, мы можем вычислить площадь ромба:

$S = a \cdot h = \frac{3}{\sqrt{10}} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{10}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5 \cdot 2}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{5}$:

$S = \frac{2 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$ см².

Ответ: $\frac{2\sqrt{5}}{5}$ см².