Номер 527, страница 136 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Площадь. Параграф 3. Теорема Пифагора - номер 527, страница 136.

Условие.

527 В равнобедренной трапеции диагональ равна 10 см, а высота равна 6 см. Найдите площадь трапеции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, где $AD > BC$. Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$. Также нам даны длина диагонали $AC = 10$ см и высота $CH = h = 6$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$. В нем гипотенуза $AC = 10$ см, а катет $CH = 6$ см. По теореме Пифагора найдем длину второго катета $AH$:

$AC^2 = AH^2 + CH^2$

$10^2 = AH^2 + 6^2$

$100 = AH^2 + 36$

$AH^2 = 100 - 36 = 64$

$AH = \sqrt{64} = 8$ см.

В равнобедренной трапеции отрезок, отсекаемый высотой, проведенной из вершины тупого угла, на большем основании, равен полусумме оснований. Докажем это. Проведем вторую высоту $BK$ из вершины $B$ на основание $AD$. Так как трапеция равнобедренная, то $AK = HD$. Прямоугольник $KBCH$ дает нам $KH = BC$. Обозначим основания $BC = a$ и $AD = b$. Тогда $HD = \frac{AD - KH}{2} = \frac{b - a}{2}$.

Длина отрезка $AH$ равна $AD - HD = b - \frac{b - a}{2} = \frac{2b - (b - a)}{2} = \frac{2b - b + a}{2} = \frac{a+b}{2}$.

Таким образом, $AH$ является средней линией трапеции. Мы нашли, что $AH = 8$ см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$

Так как мы установили, что средняя линия $\frac{a+b}{2} = AH = 8$ см, а высота $h = 6$ см, то можем найти площадь:

$S = 8 \cdot 6 = 48$ см$^2$.

Ответ: $48$ см$^2$.