Номер 531, страница 136 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Площадь. Параграф 3. Теорема Пифагора - номер 531, страница 136.

Условие.

531 Стороны $AB$ и $BC$ прямоугольника $ABCD$ равны соответственно $6 \text{ см}$ и $8 \text{ см}$. Прямая, проходящая через вершину $C$ и перпендикулярная к прямой $BD$, пересекает сторону $AD$ в точке $M$, а диагональ $BD$ — в точке $K$. Найдите площадь четырёхугольника $ABKM$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Площадь искомого четырёхугольника $ABKM$ можно найти как разность площадей треугольника $ABD$ и треугольника $MKD$.

$S_{ABKM} = S_{\triangle ABD} - S_{\triangle MKD}$

1. Найдём площадь треугольника $ABD$.

Поскольку $ABCD$ — прямоугольник, треугольник $ABD$ является прямоугольным с катетами $AB$ и $AD$. По условию $AB = 6$ см. Сторона $AD$ равна стороне $BC$, то есть $AD = 8$ см. Площадь треугольника $ABD$ равна:

$S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$ см².

2. Найдём площадь треугольника $MKD$.

Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник $BCD$ (угол $C$ прямой). Его катеты $CD = AB = 6$ см и $BC = 8$ см. Найдём гипотенузу $BD$ по теореме Пифагора:

$BD = \sqrt{CD^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ см.

Прямая $CM$ перпендикулярна диагонали $BD$ в точке $K$, следовательно, $CK$ является высотой в прямоугольном треугольнике $BCD$, проведённой к гипотенузе $BD$.

Используя метрические соотношения в прямоугольном треугольнике, найдём длину отрезка $DK$ (проекции катета $CD$ на гипотенузу $BD$):

$CD^2 = DK \cdot BD$

$6^2 = DK \cdot 10 \implies 36 = 10 \cdot DK \implies DK = 3,6$ см.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle MDK$ и $\triangle BCK$.

• Стороны $AD$ и $BC$ прямоугольника параллельны ($AD \parallel BC$), а $BD$ — секущая. Следовательно, углы $\angle MDK$ и $\angle CBK$ равны как накрест лежащие.
• Углы $\angle DKM$ и $\angle BKC$ равны как вертикальные.

Таким образом, треугольники $\triangle MDK$ и $\triangle BCK$ подобны по двум углам ($\triangle MDK \sim \triangle BCK$).

Из подобия следует соотношение сторон:

$\frac{MK}{CK} = \frac{DK}{BK} = \frac{MD}{BC}$

Найдём длины отрезков $BK$ и $CK$.

$BK = BD - DK = 10 - 3,6 = 6,4$ см.

Площадь треугольника $BCD$ можно вычислить двумя способами:

$S_{\triangle BCD} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24$ см².

$S_{\triangle BCD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot CK \implies 24 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot CK \implies CK = \frac{24}{5} = 4,8$ см.

Из соотношения подобия найдём длину $MK$:

$\frac{MK}{CK} = \frac{DK}{BK} \implies \frac{MK}{4,8} = \frac{3,6}{6,4} = \frac{36}{64} = \frac{9}{16}$

$MK = 4,8 \cdot \frac{9}{16} = \frac{48}{10} \cdot \frac{9}{16} = \frac{3 \cdot 9}{10} = \frac{27}{10} = 2,7$ см.

Поскольку $CK \perp BD$, то $\angle CKD = 90^\circ$. Так как $M, K, C$ лежат на одной прямой, то и $MK \perp BD$, значит, $\triangle MKD$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $K$.

Площадь треугольника $MKD$ равна:

$S_{\triangle MKD} = \frac{1}{2} \cdot DK \cdot MK = \frac{1}{2} \cdot 3,6 \cdot 2,7 = 1,8 \cdot 2,7 = 4,86$ см².

3. Вычислим площадь четырёхугольника $ABKM$.

$S_{ABKM} = S_{\triangle ABD} - S_{\triangle MKD} = 24 - 4,86 = 19,14$ см².

Ответ: 19,14 см².