Номер 525, страница 135 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Площадь. Параграф 3. Теорема Пифагора - номер 525, страница 135.

Условие.

525 Расстояние от точки $M$, лежащей внутри треугольника $ABC$, до прямой $AB$ равно $6$ см, а до прямой $AC$ равно $2$ см. Найдите расстояние от точки $M$ до прямой $BC$, если $AB = 13$ см, $BC = 14$ см, $AC = 15$ см.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Для решения задачи воспользуемся методом площадей. Площадь треугольника $ABC$ ($S_{ABC}$) равна сумме площадей трех треугольников, на которые он разбивается отрезками, соединяющими точку $M$ с его вершинами: $S_{ABC} = S_{AMB} + S_{BMC} + S_{CMA}$.

Сначала найдем площадь треугольника $ABC$. Поскольку известны длины всех трех сторон ($AB = 13$ см, $BC = 14$ см, $AC = 15$ см), для вычисления площади воспользуемся формулой Герона. Вычислим полупериметр $p$:

$p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21$ см.

Теперь найдем площадь $S_{ABC}$:

$S_{ABC} = \sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)} = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2^3) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3)} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 84$ см².

Площади треугольников $AMB$, $BMC$ и $CMA$ можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. В качестве оснований выступают стороны треугольника $ABC$, а в качестве высот — расстояния от точки $M$ до этих сторон. Обозначим искомое расстояние от точки $M$ до прямой $BC$ как $x$. По условию, расстояние от $M$ до $AB$ равно 6 см, а до $AC$ — 2 см. Тогда:

$S_{AMB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot 6 = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 6 = 39$ см².

$S_{CMA} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot 2 = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 2 = 15$ см².

$S_{BMC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot x = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot x = 7x$ см².

Теперь подставим все найденные площади в исходное равенство:

$S_{ABC} = S_{AMB} + S_{CMA} + S_{BMC}$

$84 = 39 + 15 + 7x$

$84 = 54 + 7x$

$7x = 84 - 54$

$7x = 30$

$x = \frac{30}{7}$ см.

Ответ: $\frac{30}{7}$ см.