Номер 518, страница 135 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Площадь. Параграф 3. Теорема Пифагора - номер 518, страница 135.

Условие.

518 Найдите площадь равнобедренной трапеции, если:

а) её меньшее основание равно 18 см, высота — 9 см и острый угол равен 45°;

б) её основания равны 16 см и 30 см, а диагонали взаимно перпендикулярны.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

а)

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2}h$, где $a$ и $b$ — основания трапеции, а $h$ — её высота.

По условию, дана равнобедренная трапеция, её меньшее основание $b = 18$ см, высота $h = 9$ см, а острый угол при основании равен $45^\circ$. Для нахождения площади необходимо найти длину большего основания $a$.

Проведём из вершин меньшего основания высоты к большему основанию. В равнобедренной трапеции эти высоты отсекают два равных прямоугольных треугольника у боковых сторон. Рассмотрим один из таких треугольников. Один из его катетов — это высота трапеции $h = 9$ см, а прилежащий к этому катету острый угол равен $90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Следовательно, этот треугольник является не только прямоугольным, но и равнобедренным. Это означает, что его катеты равны.

Второй катет этого треугольника — это отрезок, на который большее основание длиннее меньшего с одной стороны. Длина этого отрезка равна высоте $h = 9$ см. Так как трапеция равнобедренная, то с другой стороны имеется такой же отрезок длиной 9 см.

Таким образом, большее основание $a$ равно сумме длин меньшего основания и двух таких отрезков:

$a = b + 2 \times h = 18 + 2 \times 9 = 18 + 18 = 36$ см.

Теперь можем вычислить площадь трапеции:

$S = \frac{a+b}{2}h = \frac{36 + 18}{2} \times 9 = \frac{54}{2} \times 9 = 27 \times 9 = 243 \text{ см}^2$.

Ответ: $243 \text{ см}^2$.

б)

По условию, основания равнобедренной трапеции равны $a = 30$ см и $b = 16$ см, а её диагонали взаимно перпендикулярны.

Для равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями существует свойство: её высота равна полусумме оснований (средней линии).

$h = \frac{a+b}{2}$

Это свойство следует из того, что если провести через точку пересечения диагоналей высоту, она разделится на два отрезка. Каждый из этих отрезков будет высотой в равнобедренном прямоугольном треугольнике (образованном диагоналями и основанием трапеции), проведенной к гипотенузе (основанию). А высота в равнобедренном прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна её половине. Таким образом, высота трапеции будет равна $\frac{a}{2} + \frac{b}{2} = \frac{a+b}{2}$.

Вычислим высоту данной трапеции:

$h = \frac{30 + 16}{2} = \frac{46}{2} = 23$ см.

Теперь найдём площадь трапеции по стандартной формуле:

$S = \frac{a+b}{2}h$

Поскольку в нашем случае $\frac{a+b}{2} = h$, то формула для площади принимает вид $S = h \times h = h^2$.

$S = 23^2 = 529 \text{ см}^2$.

Ответ: $529 \text{ см}^2$.