Номер 514, страница 135 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Площадь. Параграф 3. Теорема Пифагора - номер 514, страница 135.

Условие.

514 Площадь ромба равна $540 \text{ см}^2$; а одна из его диагоналей равна $4,5 \text{ дм}$. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей до стороны ромба.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Обозначим площадь ромба как $S$, его диагонали как $d_1$ и $d_2$, сторону как $a$, а искомое расстояние от точки пересечения диагоналей до стороны ромба как $h$.

1. Приведение величин к единой системе измерения

Площадь ромба дана в см², а одна из диагоналей в дм. Приведем все размеры к сантиметрам.$S = 540 \text{ см}^2$.

Так как 1 дм = 10 см, то:

$d_1 = 4,5 \text{ дм} = 4,5 \times 10 \text{ см} = 45 \text{ см}$.

2. Нахождение второй диагонали ромба

Площадь ромба связана с его диагоналями формулой $S = \frac{1}{2}d_1d_2$. Выразим и найдем вторую диагональ $d_2$:

$540 = \frac{1}{2} \times 45 \times d_2$

$1080 = 45 \times d_2$

$d_2 = \frac{1080}{45} = 24 \text{ см}$.

3. Нахождение стороны ромба

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. Они образуют четыре равных прямоугольных треугольника. Катеты этих треугольников равны половинам диагоналей, а гипотенуза является стороной ромба $a$.

Длины катетов равны:

$\frac{d_1}{2} = \frac{45}{2} = 22,5 \text{ см}$

$\frac{d_2}{2} = \frac{24}{2} = 12 \text{ см}$

По теореме Пифагора $a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2$:

$a^2 = (22,5)^2 + (12)^2 = 506,25 + 144 = 650,25$

$a = \sqrt{650,25} = 25,5 \text{ см}$.

4. Нахождение расстояния от точки пересечения диагоналей до стороны ромба

Искомое расстояние $h$ — это высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу в одном из четырех прямоугольных треугольников, на которые диагонали делят ромб.

Площадь такого треугольника ($S_{\triangle}$) равна четверти площади ромба:

$S_{\triangle} = \frac{S}{4} = \frac{540}{4} = 135 \text{ см}^2$.

Также площадь этого треугольника можно найти по формуле $S_{\triangle} = \frac{1}{2}ah$, где $a$ - основание (гипотенуза), а $h$ - высота.

Приравняем выражения для площади и найдем $h$:

$\frac{1}{2}ah = 135$

$\frac{1}{2} \times 25,5 \times h = 135$

$25,5 \times h = 270$

$h = \frac{270}{25,5} = \frac{2700}{255} = \frac{180}{17} = 10\frac{10}{17} \text{ см}$.

Ответ: $10\frac{10}{17} \text{ см}$.