Номер 510, страница 134 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Площадь. Параграф 3. Теорема Пифагора - номер 510, страница 134.

Условие.

510* Через точку $D$, лежащую на стороне $BC$ треугольника $ABC$, проведены прямые, параллельные двум другим сторонам и пересекающие стороны $AB$ и $AC$ соответственно в точках $E$ и $F$. Докажите, что треугольники $CDE$ и $BDF$ равновеликие.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дан треугольник $ABC$. На стороне $BC$ выбрана точка $D$. Через точку $D$ проведены прямые, параллельные сторонам $AB$ и $AC$. Прямая, параллельная $AC$, пересекает сторону $AB$ в точке $E$ (то есть $DE \parallel AC$). Прямая, параллельная $AB$, пересекает сторону $AC$ в точке $F$ (то есть $DF \parallel AB$). Четырехугольник $AEDF$ является параллелограммом, так как его противоположные стороны попарно параллельны.

Необходимо доказать, что треугольники $CDE$ и $BDF$ равновеликие, то есть их площади равны: $S_{\triangle CDE} = S_{\triangle BDF}$.

Доказательство:

Воспользуемся формулой площади треугольника через две стороны и синус угла между ними: $S = \frac{1}{2}ab\sin\alpha$.

1. Выразим площадь треугольника $CDE$ через его элементы. Рассмотрим стороны $CD$ и $DE$ и угол между ними $\angle CDE$. Обозначим $\angle ACB = \gamma$. Так как $DE \parallel AC$, то $\angle EDB = \angle ACB = \gamma$ как соответственные углы при параллельных прямых $DE$ и $AC$ и секущей $BC$. Точки $B$, $D$ и $C$ лежат на одной прямой, следовательно, угол $\angle CDE$ является смежным с углом $\angle EDB$. Таким образом, $\angle CDE = 180^\circ - \angle EDB = 180^\circ - \gamma$. Площадь треугольника $CDE$ равна: $S_{\triangle CDE} = \frac{1}{2} CD \cdot DE \cdot \sin(\angle CDE) = \frac{1}{2} CD \cdot DE \cdot \sin(180^\circ - \gamma) = \frac{1}{2} CD \cdot DE \cdot \sin\gamma$.

2. Аналогично выразим площадь треугольника $BDF$. Рассмотрим стороны $BD$ и $DF$ и угол между ними $\angle BDF$. Обозначим $\angle ABC = \beta$. Так как $DF \parallel AB$, то $\angle FDC = \angle ABC = \beta$ как соответственные углы при параллельных прямых $DF$ и $AB$ и секущей $BC$. Угол $\angle BDF$ является смежным с углом $\angle FDC$. Таким образом, $\angle BDF = 180^\circ - \angle FDC = 180^\circ - \beta$. Площадь треугольника $BDF$ равна: $S_{\triangle BDF} = \frac{1}{2} BD \cdot DF \cdot \sin(\angle BDF) = \frac{1}{2} BD \cdot DF \cdot \sin(180^\circ - \beta) = \frac{1}{2} BD \cdot DF \cdot \sin\beta$.

3. Свяжем длины отрезков $DE$ и $DF$ со сторонами треугольника $ABC$. Рассмотрим $\triangle BDE$ и $\triangle BAC$. Поскольку $DE \parallel AC$, то $\triangle BDE \sim \triangle BAC$ по двум углам ($\angle B$ — общий, $\angle BDE = \angle BCA = \gamma$). Из подобия следует соотношение сторон: $\frac{DE}{AC} = \frac{BD}{BC}$, откуда получаем $DE = AC \cdot \frac{BD}{BC}$. Рассмотрим $\triangle CDF$ и $\triangle CBA$. Поскольку $DF \parallel AB$, то $\triangle CDF \sim \triangle CBA$ по двум углам ($\angle C$ — общий, $\angle CDF = \angle CBA = \beta$). Из подобия следует соотношение сторон: $\frac{DF}{AB} = \frac{CD}{CB}$, откуда получаем $DF = AB \cdot \frac{CD}{BC}$.

4. Подставим полученные выражения для $DE$ и $DF$ в формулы для площадей. Для $S_{\triangle CDE}$: $S_{\triangle CDE} = \frac{1}{2} CD \cdot \left(AC \cdot \frac{BD}{BC}\right) \cdot \sin\gamma = \frac{BD \cdot CD}{BC} \cdot \left(\frac{1}{2} AC \sin\gamma\right)$. Для $S_{\triangle BDF}$: $S_{\triangle BDF} = \frac{1}{2} BD \cdot \left(AB \cdot \frac{CD}{BC}\right) \cdot \sin\beta = \frac{BD \cdot CD}{BC} \cdot \left(\frac{1}{2} AB \sin\beta\right)$.

5. Площадь исходного треугольника $ABC$ можно выразить через те же углы: $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} BC \cdot AC \cdot \sin\gamma \implies \frac{1}{2} AC \sin\gamma = \frac{S_{\triangle ABC}}{BC}$. $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} BC \cdot AB \cdot \sin\beta \implies \frac{1}{2} AB \sin\beta = \frac{S_{\triangle ABC}}{BC}$.

6. Подставим выражения из пункта 5 в формулы для площадей из пункта 4: $S_{\triangle CDE} = \frac{BD \cdot CD}{BC} \cdot \frac{S_{\triangle ABC}}{BC} = \frac{BD \cdot CD}{BC^2} S_{\triangle ABC}$. $S_{\triangle BDF} = \frac{BD \cdot CD}{BC} \cdot \frac{S_{\triangle ABC}}{BC} = \frac{BD \cdot CD}{BC^2} S_{\triangle ABC}$.

Таким образом, мы получили, что площади треугольников $CDE$ и $BDF$ равны одному и тому же выражению, следовательно, они равны между собой: $S_{\triangle CDE} = S_{\triangle BDF}$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равновеликость треугольников $CDE$ и $BDF$ доказана.