Номер 505, страница 134 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Площадь. Параграф 3. Теорема Пифагора - номер 505, страница 134.

Условие.

505 Докажите, что из всех треугольников, у которых одна сторона равна $a$, а другая — $b$, наибольшую площадь имеет тот, у которого эти стороны перпендикулярны.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Рассмотрим произвольный треугольник, у которого две стороны имеют заданные длины $a$ и $b$. Обозначим угол между этими сторонами через $\gamma$.

Площадь такого треугольника $S$ можно вычислить по формуле:$S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$

В этой формуле значения $a$ и $b$ являются постоянными, так как они заданы по условию задачи. Таким образом, величина площади $S$ зависит только от значения синуса угла $\gamma$ между этими сторонами. Поскольку множитель $\frac{1}{2}ab$ является положительной константой, площадь $S$ будет максимальной, когда множитель $\sin\gamma$ примет свое наибольшее возможное значение.

Угол $\gamma$ является углом треугольника, поэтому его значение может находиться в интервале от $0^\circ$ до $180^\circ$ (то есть $0 < \gamma < \pi$ радиан). В этом интервале функция синуса принимает значения от 0 до 1.

Максимальное значение функции синуса равно 1. Это значение достигается при угле $\gamma = 90^\circ$.$\sin\gamma \le 1$Наибольшее значение $\sin\gamma = 1$ при $\gamma = 90^\circ$.

Когда угол $\gamma$ между сторонами $a$ и $b$ равен $90^\circ$, это означает, что эти стороны перпендикулярны друг другу. В этом случае треугольник является прямоугольным, а его площадь достигает максимального значения:$S_{max} = \frac{1}{2}ab \cdot \sin(90^\circ) = \frac{1}{2}ab \cdot 1 = \frac{1}{2}ab$

Для любого другого угла $\gamma$ (не равного $90^\circ$) значение $\sin\gamma$ будет меньше 1, и, соответственно, площадь треугольника будет меньше $S_{max}$. Таким образом, доказано, что из всех треугольников с двумя заданными сторонами $a$ и $b$ наибольшую площадь имеет тот, у которого эти стороны перпендикулярны.

Ответ: Наибольшую площадь имеет треугольник, у которого данные стороны перпендикулярны, так как его площадь $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$ максимальна при максимальном значении $\sin\gamma$, которое равно 1 и достигается при угле $\gamma = 90^\circ$.