Номер 506, страница 134 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Площадь. Параграф 3. Теорема Пифагора - номер 506, страница 134.

Условие.

506 ☐ Как провести две прямые через вершину квадрата, чтобы разделить его на три фигуры, площади которых равны?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дан квадрат со стороной $a$. Его площадь равна $S = a^2$. Нам нужно разделить его на три фигуры равной площади, то есть площадь каждой фигуры должна быть равна $\frac{S}{3} = \frac{a^2}{3}$.

Выберем одну из вершин квадрата, например, вершину A в квадрате ABCD. Две прямые, которые мы проведем, будут выходить из этой вершины и пересекать стороны, которые не являются смежными с A, то есть стороны BC и CD. Пусть точки пересечения — это P на стороне BC и Q на стороне CD.

В результате такого деления квадрат разбивается на три фигуры: прямоугольный треугольник $\triangle ABP$, четырехугольник $APCQ$ и прямоугольный треугольник $\triangle ADQ$. Найдем, где должны располагаться точки P и Q, чтобы площади этих фигур были равны.

Площадь треугольника $\triangle ABP$ вычисляется по формуле $S_{ABP} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BP$. Так как $AB = a$, получаем $S_{ABP} = \frac{1}{2} a \cdot BP$. По условию, эта площадь должна быть равна $\frac{a^2}{3}$.
$\frac{1}{2} a \cdot BP = \frac{a^2}{3}$
Решая это уравнение относительно $BP$, получаем:
$BP = \frac{2a^2}{3a} = \frac{2}{3}a$.
Это означает, что точка P должна находиться на стороне BC на расстоянии $\frac{2}{3}$ длины стороны от вершины B.

Аналогично для треугольника $\triangle ADQ$. Его площадь $S_{ADQ} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot DQ = \frac{1}{2} a \cdot DQ$. Эта площадь также должна быть равна $\frac{a^2}{3}$.
$\frac{1}{2} a \cdot DQ = \frac{a^2}{3}$
Отсюда находим:
$DQ = \frac{2}{3}a$.
То есть, точка Q должна находиться на стороне CD на расстоянии $\frac{2}{3}$ длины стороны от вершины D.

Теперь проверим площадь третьей, центральной, фигуры — четырехугольника $APCQ$. Его площадь можно найти, вычтя из общей площади квадрата площади двух треугольников:
$S_{APCQ} = S_{ABCD} - S_{ABP} - S_{ADQ} = a^2 - \frac{a^2}{3} - \frac{a^2}{3} = a^2 - \frac{2a^2}{3} = \frac{a^2}{3}$.

Таким образом, все три полученные фигуры имеют равные площади.

Ответ: Нужно из одной вершины квадрата провести два отрезка к двум противоположным сторонам (тем, которые не содержат эту вершину). Точки на этих сторонах должны делить их в отношении 2:1, считая от вершин, наиболее удаленных от исходной. Например, если для квадрата ABCD выбрана вершина A, то отрезки нужно провести к точке P на стороне BC, такой что $BP = \frac{2}{3}BC$, и к точке Q на стороне CD, такой что $DQ = \frac{2}{3}CD$.