Номер 508, страница 134 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Площадь. Параграф 3. Теорема Пифагора - номер 508, страница 134.

Условие.

508* ☐ Докажите, что сумма расстояний от точки на основании равнобедренного треугольника до боковых сторон не зависит от положения этой точки.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AB$ и боковыми сторонами $AC=BC$. Пусть $M$ – произвольная точка на основании $AB$. Обозначим расстояния от точки $M$ до боковых сторон $AC$ и $BC$ как $h_1$ и $h_2$ соответственно. Это означает, что мы провели перпендикуляры $MP$ и $MQ$ к сторонам $AC$ и $BC$ ($P$ на $AC$, $Q$ на $BC$), и $h_1=MP$, $h_2=MQ$. Требуется доказать, что сумма $h_1 + h_2$ является постоянной величиной, не зависящей от выбора точки $M$ на отрезке $AB$.

Для доказательства воспользуемся методом площадей. Соединим точку $M$ с вершиной $C$. Площадь треугольника $ABC$, обозначим её $S_{ABC}$, можно представить как сумму площадей треугольников $\triangle AMC$ и $\triangle BMC$:

$S_{ABC} = S_{AMC} + S_{BMC}$

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ — длина стороны, а $h$ — высота, проведенная к этой стороне.

В треугольнике $\triangle AMC$ отрезок $MP=h_1$ является высотой, проведенной к стороне $AC$. Следовательно, его площадь равна:

$S_{AMC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot MP = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_1$

Аналогично, в треугольнике $\triangle BMC$ отрезок $MQ=h_2$ является высотой, проведенной к стороне $BC$. Его площадь равна:

$S_{BMC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot MQ = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_2$

Подставим эти выражения в формулу для площади всего треугольника:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_1 + \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_2$

Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, его боковые стороны равны: $AC = BC$. Обозначим их длину как $b$. Тогда равенство примет вид:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_1 + \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_2 = \frac{1}{2} b (h_1 + h_2)$

Из этого уравнения выразим искомую сумму расстояний $h_1 + h_2$:

$h_1 + h_2 = \frac{2 S_{ABC}}{b}$

В полученном выражении площадь треугольника $S_{ABC}$ и длина боковой стороны $b$ являются постоянными величинами для данного треугольника. Они не зависят от положения точки $M$ на основании. Следовательно, и их отношение, а значит и сумма $h_1 + h_2$, также является постоянной величиной. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что сумма расстояний от точки на основании равнобедренного треугольника до боковых сторон не зависит от положения этой точки и является постоянной величиной.