Номер 512, страница 134 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Площадь. Параграф 3. Теорема Пифагора - номер 512, страница 134.

Условие.

512* Основания трапеции равны $a$ и $b$. Отрезок с концами на боковых сторонах трапеции, параллельный основаниям, разделяет трапецию на две равновеликие трапеции. Найдите длину этого отрезка.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дана трапеция с основаниями $a$ и $b$. Обозначим искомую длину отрезка, параллельного основаниям, через $x$. Этот отрезок делит исходную трапецию на две новые трапеции, которые по условию являются равновеликими (имеют равные площади).

Для решения этой задачи удобно использовать метод, основанный на подобии. Продлим боковые стороны трапеции до их пересечения в некоторой точке $P$. В результате образуются три подобных треугольника, вершиной которых является точка $P$, а основаниями служат основания исходной трапеции ($a$ и $b$) и отрезок $x$.

Известно, что площади подобных фигур относятся как квадраты их соответствующих линейных размеров. В нашем случае, площади этих трех треугольников будут относиться как квадраты их оснований.

Пусть $S_a$, $S_x$, $S_b$ — это площади треугольников с основаниями $a$, $x$ и $b$ соответственно. Тогда их площади можно выразить через некий коэффициент пропорциональности $k$:

$S_a = k \cdot a^2$
$S_x = k \cdot x^2$
$S_b = k \cdot b^2$

Отрезок $x$ делит исходную трапецию на две.

Площадь первой (верхней, если $a$ - меньшее основание) трапеции $S_1$ с основаниями $a$ и $x$ равна разности площадей треугольников $S_x$ и $S_a$:
$S_1 = S_x - S_a = kx^2 - ka^2 = k(x^2 - a^2)$

Площадь второй (нижней) трапеции $S_2$ с основаниями $x$ и $b$ равна разности площадей треугольников $S_b$ и $S_x$:
$S_2 = S_b - S_x = kb^2 - kx^2 = k(b^2 - x^2)$

Согласно условию задачи, эти две трапеции равновелики, то есть $S_1 = S_2$.

$k(x^2 - a^2) = k(b^2 - x^2)$

Поскольку для невырожденной трапеции коэффициент $k$ не равен нулю, мы можем разделить обе части уравнения на $k$:

$x^2 - a^2 = b^2 - x^2$

Теперь решим это уравнение относительно $x$. Перенесем все члены с $x^2$ в левую часть, а остальные — в правую:

$x^2 + x^2 = a^2 + b^2$

$2x^2 = a^2 + b^2$

$x^2 = \frac{a^2 + b^2}{2}$

Так как длина отрезка $x$ является положительной величиной, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}$

Таким образом, длина искомого отрезка равна среднему квадратичному оснований трапеции.

Ответ: $\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}$