Номер 532, страница 136 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Площадь. Параграф 3. Теорема Пифагора - номер 532, страница 136.

Условие.

532 В треугольнике ABC проведена высота BH. Докажите, что если:

а) угол A острый, то $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AC \cdot AH$;

б) угол A тупой, то $BC^2 = AB^2 + AC^2 + 2AC \cdot AH$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

а) угол А острый, то $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AC \cdot AH$

Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором угол $A$ острый. Проведена высота $BH$ к стороне $AC$. Так как угол $A$ острый, основание высоты $H$ лежит на отрезке $AC$.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника, образованных высотой $BH$: $\triangle BHC$ и $\triangle BHA$.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $\triangle BHC$ имеем:

$BC^2 = BH^2 + HC^2$

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $\triangle BHA$ имеем:

$AB^2 = BH^2 + AH^2$

Из второго уравнения выразим $BH^2$:

$BH^2 = AB^2 - AH^2$

Подставим это выражение для $BH^2$ в первое уравнение:

$BC^2 = (AB^2 - AH^2) + HC^2$

Поскольку точка $H$ лежит на отрезке $AC$, то $HC = AC - AH$. Подставим это выражение в полученное равенство:

$BC^2 = AB^2 - AH^2 + (AC - AH)^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$BC^2 = AB^2 - AH^2 + AC^2 - 2 \cdot AC \cdot AH + AH^2$

Сократим $AH^2$ и $-AH^2$:

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AC \cdot AH$

Что и требовалось доказать.

Ответ: $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AC \cdot AH$.

б) угол А тупой, то $BC^2 = AB^2 + AC^2 + 2AC \cdot AH$

Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором угол $A$ тупой. Проведена высота $BH$ к прямой, содержащей сторону $AC$. Так как угол $A$ тупой, основание высоты $H$ будет лежать на продолжении стороны $AC$ за точкой $A$.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника, образованных высотой $BH$: $\triangle BHC$ и $\triangle BHA$.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $\triangle BHC$ имеем:

$BC^2 = BH^2 + HC^2$

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $\triangle BHA$ имеем:

$AB^2 = BH^2 + AH^2$

Из второго уравнения выразим $BH^2$:

$BH^2 = AB^2 - AH^2$

Подставим это выражение для $BH^2$ в первое уравнение:

$BC^2 = (AB^2 - AH^2) + HC^2$

Поскольку точка $A$ лежит между точками $H$ и $C$, то $HC = AH + AC$. Подставим это выражение в полученное равенство:

$BC^2 = AB^2 - AH^2 + (AH + AC)^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$BC^2 = AB^2 - AH^2 + AH^2 + 2 \cdot AH \cdot AC + AC^2$

Сократим $-AH^2$ и $AH^2$:

$BC^2 = AB^2 + AC^2 + 2AC \cdot AH$

Что и требовалось доказать.

Ответ: $BC^2 = AB^2 + AC^2 + 2AC \cdot AH$.