Номер 539, страница 140 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Параграф 1. Определение подобных треугольников - номер 539, страница 140.

Условие.

539 ☐ В треугольник $MNK$ вписан ромб $MDEF$ так, что вершины $D, E$ и $F$ лежат соответственно на сторонах $MN, NK$ и $MK$. Найдите отрезки $NE$ и $EK$, если $MN = 7$ см, $NK = 6$ см, $MK = 5$ см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть сторона вписанного ромба $MDEF$ равна $x$. Тогда $MD = MF = DE = EF = x$.

По условию, вершина $D$ лежит на стороне $MN$, вершина $F$ — на стороне $MK$, а вершина $E$ — на стороне $NK$.

Так как $MDEF$ — ромб, его противоположные стороны параллельны. В частности, сторона $DE$ параллельна стороне $MF$. Поскольку точка $F$ лежит на стороне $MK$, то $DE \parallel MK$.

Рассмотрим треугольники $\triangle NDE$ и $\triangle NMK$. Так как $DE \parallel MK$, то эти треугольники подобны по двум углам (угол при вершине $N$ — общий, а $\angle NDE = \angle NMK$ как соответственные углы при параллельных прямых $DE$ и $MK$ и секущей $MN$).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответственных сторон:

$\frac{ND}{NM} = \frac{NE}{NK} = \frac{DE}{MK}$

Выразим длины отрезков через известные величины и переменную $x$:

• $DE = x$
• $MK = 5$ см
• $NM = 7$ см
• $ND = NM - MD = 7 - x$
• $NK = 6$ см

Подставим эти значения в пропорцию, используя первое и третье отношения:

$\frac{ND}{NM} = \frac{DE}{MK} \implies \frac{7 - x}{7} = \frac{x}{5}$

Решим полученное уравнение относительно $x$:

$5(7 - x) = 7x$

$35 - 5x = 7x$

$35 = 12x$

$x = \frac{35}{12}$

Теперь, зная сторону ромба $x$, найдем длину отрезка $NE$, используя второе и третье отношения из пропорции подобия:

$\frac{NE}{NK} = \frac{DE}{MK} \implies \frac{NE}{6} = \frac{x}{5}$

$NE = \frac{6x}{5}$

Подставим найденное значение $x$:

$NE = \frac{6}{5} \cdot \frac{35}{12} = \frac{6 \cdot 35}{5 \cdot 12} = \frac{210}{60} = \frac{7}{2} = 3,5$ см.

Отрезок $EK$ является частью стороны $NK$. Его длина равна разности длин $NK$ и $NE$:

$EK = NK - NE = 6 - 3,5 = 2,5$ см.

Ответ: $NE = 3,5$ см, $EK = 2,5$ см.