Номер 538, страница 140 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Параграф 1. Определение подобных треугольников - номер 538, страница 140.

Условие.

538 □ Биссектриса $AD$ треугольника $ABC$ делит сторону $BC$ на отрезки $CD$ и $BD$, равные соответственно $4,5$ см и $13,5$ см. Найдите $AB$ и $AC$, если периметр треугольника $ABC$ равен $42$ см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Согласно свойству биссектрисы треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. Для треугольника $ABC$ и биссектрисы $AD$ это свойство можно записать в виде пропорции: $ \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CD} $

Подставим в эту пропорцию заданные длины отрезков $CD = 4,5$ см и $BD = 13,5$ см:
$ \frac{AB}{AC} = \frac{13,5}{4,5} $
$ \frac{AB}{AC} = 3 $
Отсюда следует, что $AB = 3 \cdot AC$.

Периметр треугольника $ABC$ ($P_{ABC}$) вычисляется как сумма длин всех его сторон:
$ P_{ABC} = AB + AC + BC $

Найдем длину стороны $BC$, сложив длины отрезков $BD$ и $CD$:
$ BC = BD + CD = 13,5 + 4,5 = 18 $ см.

Теперь используем известное значение периметра ($P_{ABC} = 42$ см) и найденную длину стороны $BC$:
$ 42 = AB + AC + 18 $
Выразим сумму сторон $AB$ и $AC$:
$ AB + AC = 42 - 18 $
$ AB + AC = 24 $

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
$ \begin{cases} AB = 3 \cdot AC \\ AB + AC = 24 \end{cases} $
Подставим выражение для $AB$ из первого уравнения во второе:
$ (3 \cdot AC) + AC = 24 $
$ 4 \cdot AC = 24 $
$ AC = \frac{24}{4} = 6 $ см.

Зная длину стороны $AC$, мы можем найти длину стороны $AB$:
$ AB = 3 \cdot AC = 3 \cdot 6 = 18 $ см.

Ответ: $AB = 18$ см, $AC = 6$ см.