Номер 537, страница 140 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Параграф 1. Определение подобных треугольников - номер 537, страница 140.

Условие.

537 ☐ Отрезок $AD$ является биссектрисой треугольника $ABC$. Найдите $BD$ и $DC$, если $AB = 14$ см, $BC = 20$ см, $AC = 21$ см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Для решения этой задачи используется свойство биссектрисы треугольника. Биссектриса угла треугольника ($AD$) делит противолежащую сторону ($BC$) на отрезки ($BD$ и $DC$), которые пропорциональны двум другим сторонам треугольника ($AB$ и $AC$).

Это свойство можно записать в виде пропорции:

$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$

Подставим в эту формулу известные значения длин сторон: $AB = 14$ см, $AC = 21$ см.

$\frac{BD}{DC} = \frac{14}{21}$

Сократим полученную дробь:

$\frac{14}{21} = \frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 7} = \frac{2}{3}$

Таким образом, мы получили соотношение $\frac{BD}{DC} = \frac{2}{3}$. Это означает, что отрезки $BD$ и $DC$ относятся друг к другу как 2 к 3.

Мы также знаем, что сумма длин этих отрезков равна длине всей стороны $BC$, то есть 20 см:

$BD + DC = 20$

Для нахождения длин отрезков введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда $BD = 2x$, а $DC = 3x$. Подставим эти выражения в уравнение:

$2x + 3x = 20$

$5x = 20$

$x = \frac{20}{5} = 4$

Теперь, зная значение $x$, можем вычислить длины отрезков $BD$ и $DC$:

$BD = 2x = 2 \cdot 4 = 8$ см.

$DC = 3x = 3 \cdot 4 = 12$ см.

Ответ: $BD = 8$ см, $DC = 12$ см.