Номер 530, страница 136 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Площадь. Параграф 3. Теорема Пифагора - номер 530, страница 136.

Условие.

530. В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $BC$ высота $AD$ равна 8 см. Найдите площадь треугольника $ABC$, если медиана $DM$ треугольника $ADC$ равна 8 см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Поскольку треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $BC$, его высота $AD$, проведенная к основанию, является также и медианой. Это означает, что точка $D$ — середина отрезка $BC$, и $AD$ перпендикулярна $BC$. Следовательно, треугольник $ADC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $D$ ($\angle ADC = 90^\circ$).

В прямоугольном треугольнике $ADC$ стороны $AD$ и $DC$ являются катетами, а $AC$ — гипотенузой. По условию, $AD = 8$ см.

$DM$ — это медиана, проведенная из вершины прямого угла $D$ к гипотенузе $AC$. Согласно свойству прямоугольного треугольника, длина медианы, проведенной к гипотенузе, равна половине длины гипотенузы. Таким образом, $DM = \frac{1}{2} AC$.

Из условия известно, что $DM = 8$ см. Найдем длину гипотенузы $AC$:

$AC = 2 \times DM = 2 \times 8 = 16$ см.

Теперь мы можем найти длину катета $DC$ в прямоугольном треугольнике $ADC$, используя теорему Пифагора: $AD^2 + DC^2 = AC^2$.

$8^2 + DC^2 = 16^2$

$64 + DC^2 = 256$

$DC^2 = 256 - 64 = 192$

$DC = \sqrt{192} = \sqrt{64 \times 3} = 8\sqrt{3}$ см.

Так как $D$ — середина основания $BC$, то длина основания равна удвоенной длине отрезка $DC$:

$BC = 2 \times DC = 2 \times 8\sqrt{3} = 16\sqrt{3}$ см.

Площадь треугольника $ABC$ вычисляется как половина произведения его основания на высоту:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \times BC \times AD$

Подставим известные значения:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \times 16\sqrt{3} \times 8 = 8\sqrt{3} \times 8 = 64\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $64\sqrt{3}\ \text{см}^2$.