Номер 9, страница 133 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Площадь. Вопросы к главе 6 - номер 9, страница 133.

Условие.

9 Сформулируйте и докажите теорему Пифагора.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Сформулируйте

Теорема Пифагора — это фундаментальная теорема евклидовой геометрии, которая устанавливает соотношение между сторонами прямоугольного треугольника.

Формулировка: В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы (стороны, лежащей напротив прямого угла) равен сумме квадратов длин катетов (сторон, прилежащих к прямому углу).

Если обозначить длины катетов прямоугольного треугольника как $a$ и $b$, а длину гипотенузы как $c$, то теорему можно выразить следующей формулой:

$c^2 = a^2 + b^2$

Ответ: В прямоугольном треугольнике с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой $c$ выполняется равенство: $c^2 = a^2 + b^2$.

докажите

Для доказательства теоремы воспользуемся методом, основанным на подобии треугольников.

Дано: Прямоугольный треугольник $\triangle ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Катеты $BC=a$ и $AC=b$, гипотенуза $AB=c$.

Доказать: $c^2 = a^2 + b^2$.

Доказательство:

1. Проведем из вершины прямого угла $C$ высоту $CH$ на гипотенузу $AB$.

2. Высота делит гипотенузу на два отрезка: $AH$ и $HB$. Эти отрезки являются проекциями катетов $b$ и $a$ на гипотенузу. Обозначим их длины $AH = b_c$ и $HB = a_c$. По построению, $c = a_c + b_c$.

3. Треугольник $\triangle ACH$ подобен исходному треугольнику $\triangle ABC$, так как оба они прямоугольные и имеют общий острый угол $\angle A$.

4. Из подобия $\triangle ACH \sim \triangle ABC$ следует соотношение между соответствующими сторонами (гипотенуза к катету): $\frac{AB}{AC} = \frac{AC}{AH}$. В наших обозначениях это $\frac{c}{b} = \frac{b}{b_c}$, откуда следует $b^2 = c \cdot b_c$.

5. Аналогично, треугольник $\triangle CBH$ подобен треугольнику $\triangle ABC$, так как оба прямоугольные и имеют общий острый угол $\angle B$.

6. Из подобия $\triangle CBH \sim \triangle ABC$ получаем соотношение: $\frac{AB}{BC} = \frac{BC}{BH}$. В наших обозначениях это $\frac{c}{a} = \frac{a}{a_c}$, откуда следует $a^2 = c \cdot a_c$.

7. Сложим полученные равенства для квадратов катетов: $a^2 + b^2 = c \cdot a_c + c \cdot b_c$.

8. Вынесем общий множитель $c$ за скобки: $a^2 + b^2 = c \cdot (a_c + b_c)$.

9. Поскольку $a_c + b_c = c$, заменяем сумму в скобках на $c$: $a^2 + b^2 = c \cdot c = c^2$.

Таким образом, мы доказали, что $c^2 = a^2 + b^2$.

Ответ: Доказательство основано на проведении высоты из вершины прямого угла на гипотенузу. Эта высота делит исходный треугольник на два меньших, каждый из которых подобен исходному. Из пропорциональности сторон в подобных треугольниках ($\triangle ACH \sim \triangle ABC$ и $\triangle CBH \sim \triangle ABC$) выводятся равенства для квадратов катетов: $b^2 = c \cdot b_c$ и $a^2 = c \cdot a_c$ (где $a_c, b_c$ - проекции катетов на гипотенузу). Сложение этих равенств дает $a^2+b^2 = c \cdot (a_c+b_c)$. Так как $a_c+b_c=c$, окончательно получаем $c^2 = a^2+b^2$, что и требовалось доказать.