Номер 5, страница 133 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Площадь. Вопросы к главе 6 - номер 5, страница 133.

Условие.

5 Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади параллелограмма.

Решение 4.

Решение 10.

Формулировка теоремы

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, проведенную к этому основанию.

Если $a$ – длина основания параллелограмма, а $h$ – высота, проведенная к этому основанию, то его площадь $S$ вычисляется по формуле:

$S = a \cdot h$

Доказательство

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Примем сторону $AD$ за основание и обозначим ее длину как $a$. Проведем из вершины $B$ высоту $BH$ к прямой, содержащей основание $AD$. Длину высоты обозначим как $h$.

Нужно доказать, что площадь параллелограмма $S_{ABCD}$ равна $a \cdot h$.

Проведем также из вершины $C$ высоту $CK$ к прямой $AD$. Так как $BH \perp AD$ и $CK \perp AD$, то прямые $BH$ и $CK$ параллельны. Поскольку $ABCD$ – параллелограмм, то $BC \parallel AD$, а значит $BC \parallel HK$. Таким образом, четырехугольник $HBCK$ является параллелограммом с прямым углом $\angle BHC$, то есть это прямоугольник.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$.

1. Гипотенуза $AB$ равна гипотенузе $DC$ (как противоположные стороны параллелограмма).
2. Катет $BH$ равен катету $CK$ (как расстояние между параллельными прямыми $BC$ и $AD$).

Следовательно, $\triangle ABH = \triangle DCK$ по гипотенузе и катету. Из равенства треугольников следует и равенство их площадей: $S_{\triangle ABH} = S_{\triangle DCK}$.

Докажем, что площадь параллелограмма $ABCD$ равна площади прямоугольника $HBCK$. Для этого рассмотрим два возможных случая расположения высоты.

Случай 1: Угол $A$ острый. В этом случае основание высоты $H$ лежит на стороне $AD$.

Площадь параллелограмма $ABCD$ можно представить как сумму площадей треугольника $\triangle ABH$ и трапеции $HBCD$:

$S_{ABCD} = S_{\triangle ABH} + S_{HBCD}$

Площадь прямоугольника $HBCK$ можно представить как сумму площадей той же трапеции $HBCD$ и треугольника $\triangle DCK$:

$S_{HBCK} = S_{HBCD} + S_{\triangle DCK}$

Так как ранее мы доказали, что $S_{\triangle ABH} = S_{\triangle DCK}$, то, сравнивая два выражения, получаем, что $S_{ABCD} = S_{HBCK}$.

Случай 2: Угол $A$ тупой. В этом случае основание высоты $H$ лежит на продолжении стороны $AD$ за точку $A$.

Площадь трапеции $HBCD$ можно представить в виде суммы площадей параллелограмма $ABCD$ и треугольника $\triangle ABH$:

$S_{HBCD} = S_{ABCD} + S_{\triangle ABH}$

Площадь той же трапеции $HBCD$ можно представить как сумму площадей прямоугольника $HBCK$ и треугольника $\triangle DCK$:

$S_{HBCD} = S_{HBCK} + S_{\triangle DCK}$

Приравнивая правые части, получаем: $S_{ABCD} + S_{\triangle ABH} = S_{HBCK} + S_{\triangle DCK}$.

Поскольку $S_{\triangle ABH} = S_{\triangle DCK}$, мы можем сократить эти члены, и снова получим $S_{ABCD} = S_{HBCK}$.

(Если угол $A$ прямой, то параллелограмм является прямоугольником, и формула очевидна).

Таким образом, в любом случае площадь параллелограмма равна площади прямоугольника $HBCK$. Площадь этого прямоугольника равна произведению его смежных сторон $BC$ и $BH$.

По свойству параллелограмма $BC = AD = a$.

Следовательно, $S_{HBCK} = BC \cdot BH = AD \cdot BH = a \cdot h$.

А значит, и $S_{ABCD} = a \cdot h$.

Теорема доказана.

Ответ: Теорема о площади параллелограмма утверждает, что площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, проведенную к этому основанию. Формула для вычисления площади: $S = a \cdot h$, где $a$ – длина основания, а $h$ – длина высоты.