Номер 1, страница 133 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Площадь. Вопросы к главе 6 - номер 1, страница 133.

Условие.

1 Расскажите, как измеряются площади многоугольников.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Измерение площади многоугольника — это нахождение численного значения, которое показывает, какую часть плоскости занимает многоугольник. Площадь измеряется в квадратных единицах (например, $ \text{см}^2, \text{м}^2 $). Процесс измерения основывается на нескольких ключевых свойствах площади:

• Площадь любого многоугольника является неотрицательным числом.
• Равные многоугольники имеют равные площади.
• Если многоугольник разбит на несколько частей без общих внутренних точек, его общая площадь равна сумме площадей этих частей (свойство аддитивности).

Существует несколько основных способов измерения площади многоугольников.

Метод разбиения на треугольники (триангуляция)

Это фундаментальный и универсальный метод. Любой простой многоугольник можно разбить на конечное число треугольников. Площадь исходного многоугольника вычисляется как сумма площадей всех полученных треугольников. Для нахождения площади каждого треугольника можно использовать одну из известных формул:

• Через основание $a$ и высоту $h$, проведенную к нему: $S = \frac{1}{2}ah$
• Через две стороны $a$, $b$ и угол $\gamma$ между ними: $S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$
• По формуле Герона (если известны все три стороны $a, b, c$): $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр, $p = \frac{a+b+c}{2}$.

Использование готовых формул для стандартных многоугольников

Для стандартных видов многоугольников выведены специальные формулы, упрощающие вычисления:

• Прямоугольник со сторонами $a$ и $b$: $S = ab$
• Квадрат со стороной $a$: $S = a^2$
• Параллелограмм с основанием $a$ и высотой $h$: $S = ah$
• Ромб через его диагонали $d_1$ и $d_2$: $S = \frac{1}{2}d_1d_2$
• Трапеция с основаниями $a$, $b$ и высотой $h$: $S = \frac{a+b}{2}h$
• Правильный n-угольник со стороной $a$: $S = \frac{na^2}{4 \tan(\frac{180^\circ}{n})}$. Альтернативная формула через периметр $P$ и апофему $r$ (радиус вписанной окружности): $S = \frac{1}{2}Pr$.

Координатный метод (формула шнурков)

Если многоугольник задан координатами своих вершин $(x_1, y_1), (x_2, y_2), \dots, (x_n, y_n)$ в порядке обхода (по или против часовой стрелки), его площадь можно найти по формуле площади Гаусса (также известной как формула шнурков):

$S = \frac{1}{2} |(x_1y_2 + x_2y_3 + \dots + x_ny_1) - (y_1x_2 + y_2x_3 + \dots + y_nx_1)|$

Этот метод очень удобен в аналитической геометрии и при компьютерных вычислениях.

Метод палетки (приближенное измерение)

Этот практический способ используется для нахождения приближенного значения площади фигур сложной формы. На фигуру накладывается прозрачная сетка (палетка) с ячейками известной площади $S_0$. Площадь фигуры приблизительно равна произведению площади одной ячейки на сумму числа целых ячеек, попавших внутрь фигуры ($N$), и половины числа ячеек, пересеченных границей фигуры ($K$):

$S \approx (N + \frac{K}{2}) \cdot S_0$

Точность этого метода тем выше, чем меньше размер ячейки палетки.

Ответ: Площади многоугольников измеряют, основываясь на их свойствах, одним из нескольких способов: разбиением сложного многоугольника на простые (чаще всего на треугольники) и суммированием их площадей; применением готовых математических формул, специфичных для каждого вида многоугольника (квадрата, трапеции, правильного многоугольника и т.д.); координатным методом (формула Гаусса), если известны координаты вершин; или практически, с помощью палетки для получения приближенного значения.