Номер 494, страница 133 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Площадь. Параграф 3. Теорема Пифагора - номер 494, страница 133.

Условие.

494 Найдите диагональ и площадь ромба, если его сторона равна 10 см, а другая диагональ — 12 см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть сторона ромба равна $a$, а его диагонали — $d_1$ и $d_2$.
По условию задачи дано:
$a = 10$ см
$d_1 = 12$ см

Найти диагональ

Важным свойством ромба является то, что его диагонали пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам. Таким образом, диагонали делят ромб на четыре одинаковых прямоугольных треугольника.

В каждом из этих треугольников гипотенузой является сторона ромба ($a$), а катетами — половины его диагоналей ($\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$).

Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
$a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2$

Найдем половину известной диагонали $d_1$:
$\frac{d_1}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Теперь подставим известные значения в формулу и найдем половину второй диагонали:
$10^2 = 6^2 + (\frac{d_2}{2})^2$
$100 = 36 + (\frac{d_2}{2})^2$
$(\frac{d_2}{2})^2 = 100 - 36$
$(\frac{d_2}{2})^2 = 64$
$\frac{d_2}{2} = \sqrt{64} = 8$ см.

Чтобы найти полную длину второй диагонали $d_2$, умножим ее половину на 2:
$d_2 = 8 \times 2 = 16$ см.

Ответ: Длина второй диагонали равна 16 см.

Найти площадь

Площадь ромба ($S$) можно вычислить как половину произведения длин его диагоналей:
$S = \frac{1}{2} d_1 d_2$

Мы знаем обе диагонали: $d_1 = 12$ см и $d_2 = 16$ см. Подставим эти значения в формулу:
$S = \frac{1}{2} \times 12 \times 16$
$S = 6 \times 16$
$S = 96$ $см^2$

Ответ: Площадь ромба равна 96 $см^2$.