Номер 495, страница 133 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Площадь. Параграф 3. Теорема Пифагора - номер 495, страница 133.

Условие.

495 Найдите площадь трапеции $ABCD$ с основаниями $AB$ и $CD$, если:

a) $AB = 10$ см, $BC = DA = 13$ см, $CD = 20$ см;

б) $\angle C = \angle D = 60^\circ$, $AB = BC = 8$ см;

в) $\angle C = \angle D = 45^\circ$, $AB = 6$ см, $BC = 9\sqrt{2}$ см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота. В нашем случае основаниями являются $AB$ и $CD$.

а)

Дано: трапеция $ABCD$ с основаниями $AB$ и $CD$, $AB = 10$ см, $BC = DA = 13$ см, $CD = 20$ см.

Поскольку боковые стороны трапеции равны ($BC = DA$), трапеция является равнобедренной.

Проведем высоты $AH$ и $BK$ из вершин $A$ и $B$ на основание $CD$. Фигура $ABKH$ является прямоугольником, поэтому $HK = AB = 10$ см. Треугольники $ADH$ и $BCK$ являются прямоугольными и равными (по гипотенузе и катету, т.к. $AD=BC$ и $AH=BK$).

Следовательно, отрезки $DH$ и $CK$ равны. Их длину можно вычислить так:

$DH = CK = \frac{CD - HK}{2} = \frac{20 - 10}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ADH$. Гипотенуза $AD = 13$ см, катет $DH = 5$ см. По теореме Пифагора найдем высоту $h = AH$:

$AD^2 = AH^2 + DH^2$

$13^2 = h^2 + 5^2$

$169 = h^2 + 25$

$h^2 = 169 - 25 = 144$

$h = \sqrt{144} = 12$ см.

Теперь мы можем найти площадь трапеции:

$S = \frac{AB + CD}{2} \cdot h = \frac{10 + 20}{2} \cdot 12 = \frac{30}{2} \cdot 12 = 15 \cdot 12 = 180$ см².

Ответ: $180$ см².

б)

Дано: трапеция $ABCD$ с основаниями $AB$ и $CD$, $\angle C = \angle D = 60°$, $AB = BC = 8$ см.

Так как углы при основании равны, трапеция является равнобедренной. Следовательно, $AD = BC = 8$ см.

Проведем высоты $AH$ и $BK$ из вершин $A$ и $B$ на основание $CD$. Высота трапеции $h = AH = BK$. Отрезок $HK = AB = 8$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BCK$. Гипотенуза $BC = 8$ см, $\angle C = 60°$. Найдем высоту $h=BK$ и катет $CK$:

$h = BK = BC \cdot \sin(\angle C) = 8 \cdot \sin(60°) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

$CK = BC \cdot \cos(\angle C) = 8 \cdot \cos(60°) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ см.

Так как трапеция равнобедренная, $DH = CK = 4$ см.

Теперь найдем длину большего основания $CD$:

$CD = DH + HK + CK = 4 + 8 + 4 = 16$ см.

Вычислим площадь трапеции:

$S = \frac{AB + CD}{2} \cdot h = \frac{8 + 16}{2} \cdot 4\sqrt{3} = \frac{24}{2} \cdot 4\sqrt{3} = 12 \cdot 4\sqrt{3} = 48\sqrt{3}$ см².

Ответ: $48\sqrt{3}$ см².

в)

Дано: трапеция $ABCD$ с основаниями $AB$ и $CD$, $\angle C = \angle D = 45°$, $AB = 6$ см, $BC = 9\sqrt{2}$ см.

Так как углы при основании равны, трапеция является равнобедренной. Следовательно, $AD = BC = 9\sqrt{2}$ см.

Проведем высоты $AH$ и $BK$ из вершин $A$ и $B$ на основание $CD$. Высота трапеции $h = AH = BK$. Отрезок $HK = AB = 6$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BCK$. Гипотенуза $BC = 9\sqrt{2}$ см, $\angle C = 45°$. Поскольку сумма углов в треугольнике равна $180°$, то $\angle KBC = 180° - 90° - 45° = 45°$. Таким образом, треугольник $BCK$ является равнобедренным, и $BK = CK = h$.

Найдем высоту $h$ по теореме Пифагора:

$BC^2 = BK^2 + CK^2$

$(9\sqrt{2})^2 = h^2 + h^2$

$81 \cdot 2 = 2h^2$

$162 = 2h^2$

$h^2 = 81$

$h = 9$ см.

Следовательно, $CK = h = 9$ см.

Так как трапеция равнобедренная, $DH = CK = 9$ см.

Теперь найдем длину большего основания $CD$:

$CD = DH + HK + CK = 9 + 6 + 9 = 24$ см.

Вычислим площадь трапеции:

$S = \frac{AB + CD}{2} \cdot h = \frac{6 + 24}{2} \cdot 9 = \frac{30}{2} \cdot 9 = 15 \cdot 9 = 135$ см².

Ответ: $135$ см².