Номер 491, страница 132 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Площадь. Параграф 3. Теорема Пифагора - номер 491, страница 132.

Условие.

491 По данным катетам $a$ и $b$ прямоугольного треугольника найдите высоту, проведённую к гипотенузе:

а) $a = 5, b = 12$;

б) $a = 12, b = 16$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Для нахождения высоты $h$, проведённой к гипотенузе $c$ в прямоугольном треугольнике с катетами $a$ и $b$, можно использовать формулу, выведенную из метода площадей. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов $S = \frac{1}{2}ab$. Также она равна половине произведения гипотенузы на высоту, проведённую к ней: $S = \frac{1}{2}ch$.

Приравняв эти два выражения, получаем: $\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch$, откуда $h = \frac{ab}{c}$.

Гипотенузу $c$ найдём по теореме Пифагора: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$.

Подставив выражение для $c$ в формулу для высоты, получаем: $h = \frac{ab}{\sqrt{a^2 + b^2}}$.

а)

Даны катеты $a=5$ и $b=12$.

1. Сначала найдём длину гипотенузы $c$ по теореме Пифагора:

$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$.

2. Теперь найдём высоту $h$, проведённую к гипотенузе:

$h = \frac{ab}{c} = \frac{5 \cdot 12}{13} = \frac{60}{13}$.

Для удобства можно представить ответ в виде смешанной дроби: $4\frac{8}{13}$.

Ответ: $4\frac{8}{13}$

б)

Даны катеты $a=12$ и $b=16$.

1. Сначала найдём длину гипотенузы $c$ по теореме Пифагора:

$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20$.

2. Теперь найдём высоту $h$, проведённую к гипотенузе:

$h = \frac{ab}{c} = \frac{12 \cdot 16}{20}$.

Сократим дробь для упрощения вычислений:

$h = \frac{12 \cdot 16}{20} = \frac{192}{20} = \frac{48}{5} = 9,6$.

Ответ: $9,6$