Номер 497, страница 133 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Площадь. Параграф 3. Теорема Пифагора - номер 497, страница 133.

Условие.

497 Одна из диагоналей параллелограмма является его высотой. Найдите эту диагональ, если периметр параллелограмма равен 50 см, а разность смежных сторон равна 1 см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть смежные стороны параллелограмма равны $a$ и $b$.

Периметр параллелограмма $P$ вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$. По условию, $P = 50$ см. Получаем первое уравнение:

$2(a+b) = 50$

$a+b = 25$

Разность смежных сторон равна 1 см. Пусть $a$ — большая сторона, а $b$ — меньшая. Тогда второе уравнение:

$a-b = 1$

Теперь решим систему из двух уравнений:

$\begin{cases} a+b=25 \\ a-b=1 \end{cases}$

Сложим левые и правые части уравнений:

$(a+b) + (a-b) = 25 + 1$

$2a = 26$

$a = 13$ см.

Подставим значение $a$ в первое уравнение, чтобы найти $b$:

$13 + b = 25$

$b = 25 - 13$

$b = 12$ см.

Итак, стороны параллелограмма равны 13 см и 12 см.

По условию, одна из диагоналей, назовем ее $d$, является его высотой. Это означает, что эта диагональ перпендикулярна одной из сторон. Таким образом, диагональ $d$ и две смежные стороны $a$ и $b$ образуют прямоугольный треугольник.

В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда является самой длинной стороной. Так как $a = 13$ см, а $b = 12$ см, то большей стороной является $a$. Следовательно, сторона $a$ должна быть гипотенузой, а сторона $b$ и диагональ $d$ — катетами.

Применим теорему Пифагора ($a^2 = b^2 + d^2$):

$13^2 = 12^2 + d^2$

$169 = 144 + d^2$

$d^2 = 169 - 144$

$d^2 = 25$

$d = \sqrt{25}$

$d = 5$ см.

Ответ: 5 см.