Номер 10, страница 133 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Площадь. Вопросы к главе 6 - номер 10, страница 133.

Условие.

10 Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме Пифагора.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Теорема, обратная теореме Пифагора, формулируется так: если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то этот треугольник является прямоугольным.

Иными словами, если для треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$ выполняется равенство $c^2 = a^2 + b^2$, то угол, лежащий напротив стороны $c$, является прямым.

Доказательство:

Пусть нам дан треугольник $\triangle ABC$ со сторонами $BC = a$, $AC = b$ и $AB = c$, для которых справедливо равенство $c^2 = a^2 + b^2$. Необходимо доказать, что $\triangle ABC$ — прямоугольный, а именно что $\angle C = 90^{\circ}$.

Для доказательства рассмотрим второй треугольник $\triangle A_1B_1C_1$, который построен следующим образом:

• $\angle C_1 = 90^{\circ}$
• Катет $B_1C_1 = a$
• Катет $A_1C_1 = b$

Так как $\triangle A_1B_1C_1$ — прямоугольный, к нему применима теорема Пифагора. Найдем квадрат длины его гипотенузы $A_1B_1$ (обозначим ее как $c_1$):

$c_1^2 = (A_1B_1)^2 = (B_1C_1)^2 + (A_1C_1)^2 = a^2 + b^2$

Теперь сравним полученное выражение с условием, данным для треугольника $\triangle ABC$: $c^2 = a^2 + b^2$.

Мы видим, что $c^2 = c_1^2$. Поскольку длины сторон являются положительными величинами, из этого следует, что $c = c_1$.

Теперь сравним треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Мы имеем:

• $BC = B_1C_1 = a$ (по построению)
• $AC = A_1C_1 = b$ (по построению)
• $AB = A_1B_1 = c$ (по доказанному выше)

Следовательно, треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников следует и равенство их соответствующих углов. Угол $\angle C$ в $\triangle ABC$ лежит напротив стороны $AB$, а угол $\angle C_1$ в $\triangle A_1B_1C_1$ лежит напротив стороны $A_1B_1$. Так как $AB = A_1B_1$, то и противолежащие им углы равны:

$\angle C = \angle C_1$

По нашему построению, $\angle C_1 = 90^{\circ}$, значит, и $\angle C = 90^{\circ}$.

Таким образом, мы доказали, что треугольник $\triangle ABC$ является прямоугольным. Теорема доказана.

Ответ: Теорема, обратная теореме Пифагора, гласит: если квадрат длины одной стороны треугольника равен сумме квадратов длин двух других его сторон, то такой треугольник является прямоугольным, а прямой угол — это угол, противолежащий первой стороне.