Номер 558, страница 144 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Параграф 2. Признаки подобия треугольников - номер 558, страница 144.

Условие.

558. Прямые $a$ и $b$ пересечены параллельными прямыми $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, причём точки $A, B$ и $C$ лежат на прямой $a$, а точки $A_1, B_1$ и $C_1$ — на прямой $b$. Докажите, что $\frac{AB}{BC} = \frac{A_1B_1}{B_1C_1}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Данная задача является формулировкой обобщенной теоремы Фалеса. Для доказательства необходимо рассмотреть два возможных случая взаимного расположения прямых a и b.

Случай 1: Прямые a и b параллельны ($a \parallel b$).

По условию задачи, прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ параллельны между собой. В данном случае мы также принимаем, что прямые $a$ и $b$ параллельны.

Рассмотрим четырехугольник $ABB_1A_1$. Его стороны $AB$ и $A_1B_1$ лежат на параллельных прямых a и b, следовательно, $AB \parallel A_1B_1$. Стороны $AA_1$ и $BB_1$ параллельны по условию. Таким образом, четырехугольник $ABB_1A_1$ является параллелограммом.

По свойству параллелограмма, его противоположные стороны равны, откуда следует, что $AB = A_1B_1$.

Аналогично рассмотрим четырехугольник $BCC_1B_1$. Его стороны $BC$ и $B_1C_1$ лежат на параллельных прямых a и b ($BC \parallel B_1C_1$), а стороны $BB_1$ и $CC_1$ параллельны по условию. Следовательно, $BCC_1B_1$ также является параллелограммом.

Из этого следует равенство противоположных сторон: $BC = B_1C_1$.

Составим отношение длин отрезков: $\frac{AB}{BC} = \frac{A_1B_1}{B_1C_1}$. Утверждение для случая параллельных прямых доказано.

Случай 2: Прямые a и b не параллельны.

Если прямые a и b не параллельны, они пересекаются. Проведем доказательство с помощью дополнительного построения.

Проведем через точку $A$ прямую c, параллельную прямой b ($c \parallel b$). Пусть прямая c пересекает прямые $BB_1$ и $CC_1$ в точках $D$ и $E$ соответственно.

Рассмотрим четырехугольник $A_1B_1DA$. По построению $AD \parallel A_1B_1$ (так как $c \parallel b$). По условию $AA_1 \parallel BB_1$, следовательно, и $AA_1 \parallel DB_1$. Таким образом, $A_1B_1DA$ — параллелограмм, из чего следует, что $A_1B_1 = AD$.

Теперь рассмотрим четырехугольник $B_1C_1ED$. Его стороны $B_1C_1$ и $ED$ лежат на параллельных прямых b и c ($B_1C_1 \parallel ED$). Стороны $B_1D$ и $C_1E$ лежат на параллельных по условию прямых $BB_1$ и $CC_1$ ($BB_1 \parallel CC_1$), значит $B_1D \parallel C_1E$. Следовательно, $B_1C_1ED$ — параллелограмм, и $B_1C_1 = DE$.

Рассмотрим угол, образованный пересекающимися прямыми a и AE (частью прямой c). В треугольнике $ACE$ прямая $BD$ параллельна стороне $CE$ (так как $BB_1 \parallel CC_1$). По теореме о пропорциональных отрезках (обобщенной теореме Фалеса), параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки. Значит:

$\frac{AB}{BC} = \frac{AD}{DE}$

Заменим в полученном равенстве отрезки $AD$ и $DE$ на равные им отрезки $A_1B_1$ и $B_1C_1$ соответственно:

$\frac{AB}{BC} = \frac{A_1B_1}{B_1C_1}$

Утверждение для случая непараллельных прямых также доказано.

Поскольку равенство выполняется в обоих возможных случаях расположения прямых a и b, утверждение доказано полностью.

Ответ: Утверждение, что $\frac{AB}{BC} = \frac{A_1B_1}{B_1C_1}$, доказано.