Номер 555, страница 144 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Параграф 2. Признаки подобия треугольников - номер 555, страница 144.

Условие.

555 Точки $M, N$ и $P$ лежат соответственно на сторонах $AB, BC$ и $CA$ треугольника $ABC$, причём $MN \parallel AC, NP \parallel AB$. Найдите стороны четырёхугольника $AMNP$, если:

а) $AB = 10$ см, $AC = 15$ см, $PN : MN = 2 : 3$;

б) $AM = AP, AB = a, AC = b$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Поскольку по условию $MN \parallel AC$ и $NP \parallel AB$, то четырехугольник $AMNP$ является параллелограммом по определению (его противоположные стороны попарно параллельны). В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно, $AM = NP$ и $AP = MN$.

а)

Дано: $AB = 10$ см, $AC = 15$ см, $PN : MN = 2 : 3$.
Так как $AMNP$ — параллелограмм, то $AM = PN$ и $AP = MN$.
Следовательно, соотношение сторон параллелограмма $AM : AP = PN : MN = 2 : 3$.
Пусть коэффициент пропорциональности равен $k$, тогда $AM = 2k$ и $AP = 3k$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как $NP \parallel AB$, то треугольник $CPN$ подобен треугольнику $CAB$ по двум углам (угол $C$ — общий, $\angle CPN = \angle CAB$ как соответственные углы при параллельных прямых $NP$ и $AB$ и секущей $AC$).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон:
$\frac{CP}{CA} = \frac{NP}{AB}$
Точка $P$ лежит на стороне $AC$, поэтому $CP = AC - AP = 15 - 3k$.
Сторона $NP$ равна противоположной стороне $AM$, то есть $NP = AM = 2k$.
Подставим известные значения в пропорцию:
$\frac{15 - 3k}{15} = \frac{2k}{10}$

Решим полученное уравнение:
$\frac{15 - 3k}{15} = \frac{k}{5}$
$5(15 - 3k) = 15k$
$75 - 15k = 15k$
$75 = 30k$
$k = \frac{75}{30} = 2.5$

Теперь найдем стороны четырехугольника $AMNP$:
$AM = NP = 2k = 2 \cdot 2.5 = 5$ см.
$AP = MN = 3k = 3 \cdot 2.5 = 7.5$ см.

Ответ: $AM = 5$ см, $MN = 7.5$ см, $NP = 5$ см, $AP = 7.5$ см.

б)

Дано: $AM = AP$, $AB = a$, $AC = b$.
Так как $AMNP$ — параллелограмм и его смежные стороны $AM$ и $AP$ равны, то $AMNP$ — ромб. Все его стороны равны.
Пусть $AM = AP = MN = NP = x$.

Рассмотрим подобие треугольников $CPN$ и $CAB$ (поскольку $NP \parallel AB$).
Из подобия следует: $\frac{CP}{CA} = \frac{NP}{AB}$.
Выразим стороны через известные переменные:
$CP = AC - AP = b - x$
$CA = b$
$NP = x$
$AB = a$

Подставим эти выражения в пропорцию:
$\frac{b - x}{b} = \frac{x}{a}$

Решим уравнение относительно $x$:
$a(b - x) = b \cdot x$
$ab - ax = bx$
$ab = ax + bx$
$ab = x(a + b)$
$x = \frac{ab}{a+b}$

Таким образом, все стороны четырехугольника (ромба) $AMNP$ равны $\frac{ab}{a+b}$.

Ответ: $AM = MN = NP = AP = \frac{ab}{a+b}$.