Номер 567, страница 152 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Параграф 3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач - номер 567, страница 152.

Условие.

567 Докажите, что середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Это утверждение известно как теорема Вариньона. Для его доказательства воспользуемся свойством средней линии треугольника.

Пусть нам дан произвольный четырёхугольник $ABCD$. Точки $K, L, M, N$ являются серединами сторон $AB, BC, CD$ и $DA$ соответственно. Нужно доказать, что четырёхугольник $KLMN$ — параллелограмм.

Доказательство:

1. Проведём в четырёхугольнике $ABCD$ диагональ $AC$. Эта диагональ разбивает четырёхугольник на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$.

2. Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Отрезок $KL$ соединяет середины двух его сторон: $K$ — середина $AB$, а $L$ — середина $BC$. По определению, отрезок $KL$ является средней линией треугольника $\triangle ABC$.

3. По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне и равна её половине. Следовательно, отрезок $KL$ параллелен диагонали $AC$ и его длина равна половине длины $AC$: $KL \parallel AC$ и $KL = \frac{1}{2} AC$.

4. Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ADC$. Отрезок $MN$ соединяет середины двух его сторон: $M$ — середина $CD$, а $N$ — середина $DA$. Таким образом, отрезок $MN$ является средней линией треугольника $\triangle ADC$.

5. Аналогично пункту 3, отрезок $MN$ параллелен диагонали $AC$ и его длина равна половине длины $AC$: $MN \parallel AC$ и $MN = \frac{1}{2} AC$.

6. Из полученных в пунктах 3 и 5 соотношений мы можем сделать следующие выводы:

• Поскольку оба отрезка $KL$ и $MN$ параллельны одной и той же прямой $AC$, они параллельны и друг другу: $KL \parallel MN$.
• Поскольку длины обоих отрезков $KL$ и $MN$ равны одной и той же величине $\frac{1}{2} AC$, они равны и друг другу: $KL = MN$.

7. Мы установили, что в четырёхугольнике $KLMN$ две противоположные стороны ($KL$ и $MN$) равны по длине и параллельны. Согласно одному из признаков параллелограмма, если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то такой четырёхугольник является параллелограммом.

Следовательно, четырёхугольник $KLMN$ — параллелограмм, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Четырёхугольник, вершинами которого являются середины сторон произвольного четырёхугольника, всегда является параллелограммом.