Номер 578, страница 153 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Параграф 3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач - номер 578, страница 153.

Условие.

578 Используя утверждение $2^0$, п. 65, докажите теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C выполняется равенство $AC^2 + BC^2 = AB^2$.

Решение

Пусть CD — высота треугольника ABC (см. рис. 197). На основании утверждения $2^0$, п. 65, имеем $AC = \sqrt{AD \cdot AB}$, или $AC^2 = AD \cdot AB$. Аналогично $BC^2 = BD \cdot AB$. Складывая эти равенства почленно и учитывая, что $AD + BD = AB$, получаем:

$AC^2 + BC^2 = AD \cdot AB + BD \cdot AB = (AD + BD) \cdot AB = AB^2.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Решение

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Проведем из вершины $C$ высоту $CD$ на гипотенузу $AB$.

Согласно утверждению о метрических соотношениях в прямоугольном треугольнике, катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.

Для катета $AC$ его проекцией на гипотенузу $AB$ является отрезок $AD$. Следовательно, мы можем записать соотношение:

$AC = \sqrt{AD \cdot AB}$

Возведем обе части этого равенства в квадрат:

$AC^2 = AD \cdot AB$

Аналогично, для катета $BC$ его проекцией на гипотенузу $AB$ является отрезок $BD$. Для него справедливо такое же соотношение:

$BC^2 = BD \cdot AB$

Теперь сложим два полученных равенства почленно:

$AC^2 + BC^2 = AD \cdot AB + BD \cdot AB$

В правой части равенства вынесем общий множитель $AB$ за скобки:

$AC^2 + BC^2 = (AD + BD) \cdot AB$

Поскольку точка $D$ лежит на гипотенузе $AB$, то сумма длин отрезков $AD$ и $BD$ равна длине всей гипотенузы $AB$:

$AD + BD = AB$

Подставим это в наше выражение:

$AC^2 + BC^2 = AB \cdot AB$

Таким образом, мы получаем искомое равенство, известное как теорема Пифагора:

$AC^2 + BC^2 = AB^2$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $AC^2 + BC^2 = AB^2$ доказано.