Номер 584, страница 154 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Параграф 3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач - номер 584, страница 154.

Условие.

584 Разделите данный отрезок $AB$ на два отрезка $AX$ и $XB$, пропорциональные данным отрезкам $P_1Q_1$ и $P_2Q_2$.

Решение

Проведём какой-нибудь луч $AM$, не лежащий на прямой $AB$, и на этом луче отложим последовательно отрезки $AC$ и $CD$, равные отрезкам $P_1Q_1$ и $P_2Q_2$ (рис. 205).

Затем проведём прямую $BD$ и прямую, проходящую через точку $C$ параллельно прямой $BD$. Она пересечёт отрезок $AB$ в искомой точке $X$ (см. задачу 556).

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Решение

Задача состоит в том, чтобы найти на отрезке $AB$ такую точку $X$, что отношение длин отрезков $AX$ и $XB$ было равно отношению длин данных отрезков $P_1Q_1$ и $P_2Q_2$. Математически это записывается как:

$ \frac{AX}{XB} = \frac{P_1Q_1}{P_2Q_2} $

Для решения этой задачи используется метод, основанный на обобщенной теореме Фалеса (теореме о пропорциональных отрезках). Построение выполняется следующим образом:

1. Из точки $A$ проводим произвольный луч $AM$, не совпадающий с прямой $AB$.
2. На луче $AM$, начиная от точки $A$, последовательно откладываем два отрезка: отрезок $AC$, длина которого равна длине отрезка $P_1Q_1$, и отрезок $CD$, длина которого равна длине отрезка $P_2Q_2$. Таким образом, $AC = P_1Q_1$ и $CD = P_2Q_2$.
3. Соединяем точку $D$ на луче $AM$ с точкой $B$ исходного отрезка, получая отрезок $BD$.
4. Через точку $C$ на луче $AM$ проводим прямую, параллельную прямой $BD$.
5. Точка пересечения этой прямой с отрезком $AB$ и будет искомой точкой $X$.

Обоснование:

Рассмотрим угол $DAB$. Его стороны $AD$ и $AB$ пересечены двумя параллельными прямыми $CX$ и $DB$. Согласно теореме о пропорциональных отрезках, параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от них пропорциональные отрезки. Следовательно, справедливо соотношение:

$ \frac{AX}{XB} = \frac{AC}{CD} $

Поскольку по построению мы взяли $AC = P_1Q_1$ и $CD = P_2Q_2$, мы можем подставить эти значения в полученное равенство:

$ \frac{AX}{XB} = \frac{P_1Q_1}{P_2Q_2} $

Таким образом, построенная точка $X$ делит отрезок $AB$ в заданном отношении. Задача решена.

Ответ: Искомая точка $X$ является точкой пересечения отрезка $AB$ и прямой, проведенной через точку $C$ параллельно прямой $BD$. Точки $C$ и $D$ лежат на вспомогательном луче $AM$ и выбраны так, что $AC = P_1Q_1$ и $CD = P_2Q_2$.