Номер 663, страница 171 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 2. Центральные и вписанные углы - номер 663, страница 171.

Условие.

663 Отрезок $AC$ — диаметр окружности, $AB$ — хорда, $MA$ — касательная, угол $MAB$ острый. Докажите, что $\angle MAB = \angle ACB$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Поскольку $MA$ является касательной к окружности в точке $A$, а $AC$ — диаметр, проведенный к точке касания, то касательная перпендикулярна диаметру. Следовательно, угол между ними равен $90°$. Таким образом, $∠MAC = 90°$.

Угол $∠MAC$ можно представить как сумму углов $∠MAB$ и $∠BAC$. Следовательно, мы можем записать равенство: $∠MAB + ∠BAC = 90°$. Из этого равенства выразим угол $∠MAB$:

$∠MAB = 90° - ∠BAC$

Рассмотрим треугольник $ΔABC$. Так как отрезок $AC$ является диаметром окружности, а вершина $B$ треугольника лежит на окружности, то угол $∠ABC$, опирающийся на диаметр, является прямым. Таким образом, $∠ABC = 90°$.

Следовательно, $ΔABC$ — прямоугольный треугольник. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90°$. Для треугольника $ΔABC$ это означает, что:

$∠BAC + ∠ACB = 90°$

Выразим из этого равенства угол $∠ACB$:

$∠ACB = 90° - ∠BAC$

Сравнивая полученные выражения для углов $∠MAB$ и $∠ACB$, мы видим, что правые части обоих равенств совпадают. Отсюда следует, что и левые части равны:

$∠MAB = ∠ACB$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $∠MAB = ∠ACB$ доказано.