Номер 669, страница 172 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 2. Центральные и вписанные углы - номер 669, страница 172.

Условие.

669 Пользуясь утверждением, сформулированным в задаче 668, постройте отрезок, равный среднему пропорциональному для двух данных отрезков.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Для построения отрезка, равного среднему пропорциональному (или среднему геометрическому) для двух данных отрезков, мы воспользуемся утверждением, которое, как правило, формулируется в задаче 668. Это утверждение гласит, что высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой.

Пусть нам даны два отрезка с длинами $a$ и $b$. Нам нужно построить отрезок длиной $x$, такой что $x = \sqrt{a \cdot b}$.

Алгоритм построения:

1. На произвольной прямой отложим отрезок $AB$, длина которого равна сумме длин двух данных отрезков, то есть $|AB| = a + b$. Для этого отложим на прямой от точки $A$ отрезок $AH$ длиной $a$, а затем от точки $H$ в том же направлении отложим отрезок $HB$ длиной $b$. Точка $H$ будет лежать между $A$ и $B$.
2. Найдем середину отрезка $AB$. Для этого построим серединный перпендикуляр к отрезку $AB$. Обозначим середину отрезка $AB$ точкой $O$.
3. Построим полуокружность с центром в точке $O$ и радиусом $R = OA = OB = \frac{a+b}{2}$. Отрезок $AB$ является диаметром этой полуокружности.
4. В точке $H$ восстановим перпендикуляр к прямой $AB$.
5. Точку пересечения этого перпендикуляра с полуокружностью обозначим $C$.
6. Отрезок $CH$ и есть искомый отрезок.

Доказательство:

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Угол $\angle ACB$ является вписанным углом, который опирается на диаметр $AB$. Следовательно, $\angle ACB = 90^\circ$, и треугольник $\triangle ABC$ — прямоугольный.

Отрезок $CH$ является высотой, проведенной из вершины прямого угла к гипотенузе $AB$. По свойству высоты в прямоугольном треугольнике (утверждение из задачи 668), ее длина является средним пропорциональным проекций катетов на гипотенузу, то есть отрезков $AH$ и $HB$.

Таким образом, $|CH|^2 = |AH| \cdot |HB|$, или $|CH| = \sqrt{a \cdot b}$.

Следовательно, отрезок $CH$ является искомым средним пропорциональным для отрезков $a$ и $b$.

Ответ: Искомый отрезок — это высота прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна сумме двух данных отрезков, а основание высоты делит гипотенузу на эти два отрезка.