Номер 673, страница 172 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 2. Центральные и вписанные углы - номер 673, страница 172.

Условие.

673. К данной окружности постройте касательную, проходящую через данную точку вне окружности.

Решение

Пусть даны окружность с центром $O$ и точка $A$ вне этой окружности. Допустим, что задача решена и $AB$ — искомая касательная (рис. 223). Так как прямая $AB$ перпендикулярна к радиусу $OB$, то решение задачи сводится к построению точки $B$ в окружности, для которой $\angle ABO$ прямой. Эту точку можно построить следующим образом: проводим отрезок $OA$ и строим его середину $O_1$. Затем проводим окружность с центром в точке $O_1$ радиуса $O_1A$. Эта окружность пересекает данную окружность в двух точках: $B$ и $B_1$. Прямые $AB$ и $AB_1$ — искомые касательные, так как $AB \perp OB$ и $AB_1 \perp OB_1$. Действительно, углы $ABO$ и $AB_1O$, вписанные в окружность с центром $O_1$, опираются на полуокружности, поэтому они прямые. Очевидно, задача имеет два решения.

Рис. 223

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 9.

Решение 10.

Решение

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и точка $A$, лежащая вне этой окружности. Требуется построить прямую, проходящую через точку $A$ и касающуюся данной окружности.

В основе решения лежит свойство касательной: касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Если мы обозначим искомую точку касания как $B$, то прямая $AB$ будет касательной, а радиус $OB$ будет перпендикулярен ей. Это означает, что угол $\angle OBA$ должен быть прямым, то есть $\angle OBA = 90^\circ$.

Все точки $B$, для которых угол $\angle OBA$ является прямым, лежат на окружности, диаметром которой является отрезок $OA$. Таким образом, искомая точка касания $B$ является точкой пересечения исходной окружности и вспомогательной окружности, построенной на отрезке $OA$ как на диаметре.

Отсюда следует алгоритм построения:

1. Соединить отрезком центр окружности $O$ и данную точку $A$.
2. Найти середину отрезка $OA$. Обозначим её $O_1$. Это можно сделать с помощью циркуля и линейки, построив серединный перпендикуляр к отрезку $OA$.
3. Построить новую (вспомогательную) окружность с центром в точке $O_1$ и радиусом, равным $O_1A$ (или $O_1O$).
4. Эта вспомогательная окружность пересечет исходную окружность в двух точках. Обозначим их $B$ и $B_1$.
5. Провести прямые через точку $A$ и каждую из найденных точек $B$ и $B_1$. Прямые $AB$ и $AB_1$ и будут искомыми касательными.

Доказательство. Рассмотрим построенную прямую $AB$. Точка $B$ по построению лежит на окружности с диаметром $OA$. Угол $\angle OBA$ является вписанным в эту окружность и опирается на ее диаметр $OA$. Следовательно, угол $\angle OBA$ прямой. Так как прямая $AB$ проходит через точку $B$ на исходной окружности и перпендикулярна радиусу $OB$, проведенному в эту точку, то прямая $AB$ является касательной к исходной окружности. Аналогично доказывается, что прямая $AB_1$ также является касательной.

Поскольку точка $A$ лежит вне окружности, задача всегда имеет два решения.

Ответ: Прямые $AB$ и $AB_1$, построенные по вышеописанному алгоритму, являются искомыми касательными.