Номер 668, страница 172 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 2. Центральные и вписанные углы - номер 668, страница 172.

Условие.

668 Докажите, что перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки окружности к диаметру, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые основание перпендикуляра делит диаметр.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дан диаметр $AB$ окружности и произвольная точка $C$ на этой окружности, не совпадающая с точками $A$ и $B$. Проведём из точки $C$ перпендикуляр $CH$ к диаметру $AB$. Точка $H$ — основание перпендикуляра, которая делит диаметр на два отрезка $AH$ и $HB$.

Необходимо доказать, что длина перпендикуляра $CH$ является средним пропорциональным для длин отрезков $AH$ и $HB$. Математически это означает, что нужно доказать равенство:

$CH^2 = AH \cdot HB$

Доказательство:

1. Соединим точку $C$ с концами диаметра — точками $A$ и $B$. Рассмотрим получившийся треугольник $\triangle ACB$.

2. Угол $\angle ACB$ является вписанным углом, который опирается на диаметр $AB$. По свойству вписанного угла, опирающегося на диаметр, его величина равна $90^\circ$. Следовательно, $\triangle ACB$ — прямоугольный, с прямым углом при вершине $C$.

3. В прямоугольном треугольнике $\triangle ACB$ отрезок $CH$ является высотой, проведённой из вершины прямого угла к гипотенузе $AB$. Отрезки $AH$ и $HB$ являются проекциями катетов $AC$ и $BC$ на гипотенузу.

4. Согласно теореме о метрических соотношениях в прямоугольном треугольнике, квадрат высоты, проведённой из вершины прямого угла, равен произведению проекций катетов на гипотенузу. Применительно к нашему треугольнику это свойство записывается как:

$CH^2 = AH \cdot HB$

Из этого равенства следует, что $CH = \sqrt{AH \cdot HB}$, что по определению означает, что $CH$ есть среднее пропорциональное (или среднее геометрическое) для отрезков $AH$ и $HB$.

Таким образом, утверждение полностью доказано.

Ответ: Утверждение доказано.