Номер 675, страница 177 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 3. Четыре замечательные точки треугольника - номер 675, страница 177.

Условие.

675 Стороны угла $O$ касаются каждой из двух окружностей, имеющих общую касательную в точке $A$. Докажите, что центры этих окружностей лежат на прямой $OA$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть даны две окружности, $\omega_1$ с центром $O_1$ и $\omega_2$ с центром $O_2$. Пусть стороны угла с вершиной в точке $O$ являются касательными к обеим этим окружностям. Нам нужно доказать, что точки $O_1$ и $O_2$ лежат на прямой $OA$.

1. Рассмотрим любую окружность, которая касается сторон угла. Расстояние от центра такой окружности до каждой из сторон угла равно ее радиусу. Таким образом, центр окружности равноудален от сторон угла. Геометрическим местом точек, равноудаленных от сторон угла, является его биссектриса.

2. Поскольку первая окружность $\omega_1$ с центром $O_1$ касается сторон угла $O$, ее центр $O_1$ лежит на биссектрисе этого угла.

3. Аналогично, вторая окружность $\omega_2$ с центром $O_2$ также касается сторон угла $O$, следовательно, ее центр $O_2$ также лежит на биссектрисе этого угла.

4. Из этого следует, что три точки – вершина угла $O$ и центры окружностей $O_1$ и $O_2$ – лежат на одной прямой, которая является биссектрисой угла $O$.

5. По условию, обе окружности имеют общую касательную в точке $A$. Это означает, что окружности касаются друг друга в точке $A$. Согласно свойству касающихся окружностей, их точка касания лежит на линии, соединяющей их центры. Следовательно, точка $A$ лежит на прямой $O_1O_2$.

6. Совмещая выводы из пунктов 4 и 5, мы получаем, что точка $A$ лежит на той же прямой, на которой лежат точки $O$, $O_1$ и $O_2$. Таким образом, все четыре точки $O$, $O_1$, $O_2$ и $A$ лежат на одной прямой.

Следовательно, центры окружностей $O_1$ и $O_2$ лежат на прямой, проходящей через точки $O$ и $A$, то есть на прямой $OA$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано, центры окружностей лежат на прямой $OA$.