Номер 672, страница 172 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 2. Центральные и вписанные углы - номер 672, страница 172.

Условие.

672 Через точку $A$, лежащую вне окружности, проведены две секущие, одна из которых пересекает окружность в точках $B_1$ и $C_1$, а другая — в точках $B_2$ и $C_2$. Докажите, что $AB_1 \cdot AC_1 = AB_2 \cdot AC_2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Для доказательства равенства воспользуемся методом подобных треугольников. Соединим отрезками точки $B_1$ и $B_2$, а также точки $C_1$ и $C_2$. Рассмотрим образовавшиеся треугольники $ΔAB_1B_2$ и $ΔAC_2C_1$.

Докажем, что $ΔAB_1B_2 \sim ΔAC_2C_1$ (треугольники подобны):

1. Угол $∠A$ (или $∠B_1AB_2$) является общим для обоих треугольников.

2. Точки $B_1$, $C_1$, $B_2$, $C_2$ лежат на одной окружности, следовательно, четырехугольник $B_1B_2C_2C_1$ является вписанным в окружность. Одно из свойств вписанного четырехугольника гласит, что сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$. Таким образом, $∠C_1B_1B_2 + ∠C_1C_2B_2 = 180^\circ$.

Углы $∠AB_1B_2$ и $∠C_1B_1B_2$ являются смежными, так как точки $A, B_1, C_1$ лежат на одной прямой. Сумма смежных углов равна $180^\circ$, то есть $∠AB_1B_2 + ∠C_1B_1B_2 = 180^\circ$.

Сравнивая два полученных выражения, имеем:

$$ ∠AB_1B_2 = 180^\circ - ∠C_1B_1B_2 $$

$$ ∠C_1C_2B_2 = 180^\circ - ∠C_1B_1B_2 $$

Отсюда следует, что $∠AB_1B_2 = ∠C_1C_2B_2$. Поскольку точки $A, C_2, C_1$ лежат на одной прямой, угол $∠C_1C_2B_2$ — это тот же угол, что и $∠AC_2C_1$ в треугольнике $ΔAC_2C_1$.

Таким образом, мы установили, что два угла треугольника $ΔAB_1B_2$ (а именно $∠B_1AB_2$ и $∠AB_1B_2$) соответственно равны двум углам треугольника $ΔAC_2C_1$ ($∠C_1AC_2$ и $∠AC_2C_1$). Следовательно, треугольники $ΔAB_1B_2$ и $ΔAC_2C_1$ подобны по первому признаку подобия (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон. Стороны, лежащие напротив равных углов, пропорциональны. В наших треугольниках:

• Сторона $AB_2$ (в $ΔAB_1B_2$) лежит напротив угла $∠AB_1B_2$.
• Сторона $AC_1$ (в $ΔAC_2C_1$) лежит напротив угла $∠AC_2C_1$.
• Сторона $AB_1$ (в $ΔAB_1B_2$) лежит напротив угла $∠AB_2B_1$.
• Сторона $AC_2$ (в $ΔAC_2C_1$) лежит напротив угла $∠AC_1C_2$.

Так как $∠AB_1B_2 = ∠AC_2C_1$, то и третьи углы треугольников равны: $∠AB_2B_1 = ∠AC_1C_2$.

Запишем пропорцию для соответственных сторон:

$$ \frac{AB_1}{AC_2} = \frac{AB_2}{AC_1} $$

Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем:

$$ AB_1 \cdot AC_1 = AB_2 \cdot AC_2 $$

Утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что $AB_1 \cdot AC_1 = AB_2 \cdot AC_2$.