Номер 678, страница 177 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 3. Четыре замечательные точки треугольника - номер 678, страница 177.

Условие.

678. Биcсектрисы $AA_1$ и $BB_1$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $M$. Найдите углы $ACM$ и $BCM$, если:

а) $\angle AMB=136^\circ$;

б) $\angle AMB=111^\circ$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Точка $M$ является точкой пересечения биссектрис $AA_1$ и $BB_1$ треугольника $ABC$. Точка пересечения биссектрис треугольника является центром вписанной окружности (инцентром), и через нее проходит также и третья биссектриса, проведенная из вершины $C$. Следовательно, отрезок $CM$ является биссектрисой угла $C$. Это означает, что $CM$ делит угол $C$ на два равных угла: $\angle ACM = \angle BCM$. Таким образом, чтобы найти эти углы, нам нужно найти величину угла $C$.

Рассмотрим треугольник $AMB$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому:

$\angle MAB + \angle MBA + \angle AMB = 180^\circ$

Так как $AA_1$ и $BB_1$ – биссектрисы, то $\angle MAB = \frac{1}{2}\angle A$ и $\angle MBA = \frac{1}{2}\angle B$. Подставим это в уравнение:

$\frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle B + \angle AMB = 180^\circ$

$\frac{1}{2}(\angle A + \angle B) = 180^\circ - \angle AMB$

$\angle A + \angle B = 2(180^\circ - \angle AMB)$

Теперь рассмотрим треугольник $ABC$. Сумма его углов также равна $180^\circ$:

$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$

Отсюда $\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B)$.

Подставим выражение для $(\angle A + \angle B)$:

$\angle C = 180^\circ - 2(180^\circ - \angle AMB)$

Теперь мы можем решить задачу для каждого из случаев.

а)

Дано, что $\angle AMB = 136^\circ$.

Найдем сумму углов $\angle MAB$ и $\angle MBA$ в треугольнике $AMB$:

$\angle MAB + \angle MBA = 180^\circ - \angle AMB = 180^\circ - 136^\circ = 44^\circ$

Так как это половины углов $A$ и $B$ треугольника $ABC$, то сумма целых углов $A$ и $B$ будет:

$\angle A + \angle B = 2(\angle MAB + \angle MBA) = 2 \cdot 44^\circ = 88^\circ$

Теперь найдем угол $C$ в треугольнике $ABC$:

$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - 88^\circ = 92^\circ$

Поскольку $CM$ – биссектриса угла $C$, то:

$\angle ACM = \angle BCM = \frac{\angle C}{2} = \frac{92^\circ}{2} = 46^\circ$

Ответ: $\angle ACM = 46^\circ, \angle BCM = 46^\circ$.

б)

Дано, что $\angle AMB = 111^\circ$.

Аналогично пункту а), найдем сумму углов $\angle MAB$ и $\angle MBA$ в треугольнике $AMB$:

$\angle MAB + \angle MBA = 180^\circ - \angle AMB = 180^\circ - 111^\circ = 69^\circ$

Найдем сумму углов $A$ и $B$ треугольника $ABC$:

$\angle A + \angle B = 2(\angle MAB + \angle MBA) = 2 \cdot 69^\circ = 138^\circ$

Теперь найдем угол $C$ в треугольнике $ABC$:

$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - 138^\circ = 42^\circ$

Поскольку $CM$ – биссектриса угла $C$, то:

$\angle ACM = \angle BCM = \frac{\angle C}{2} = \frac{42^\circ}{2} = 21^\circ$

Ответ: $\angle ACM = 21^\circ, \angle BCM = 21^\circ$.