Номер 682, страница 177 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 3. Четыре замечательные точки треугольника - номер 682, страница 177.

Условие.

682. Равнобедренные треугольники $ABC$ и $ABD$ имеют общее основание $AB$. Докажите, что прямая $CD$ проходит через середину отрезка $AB$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Для доказательства утверждения рассмотрим треугольники $\triangle ACD$ и $\triangle BCD$.

• Сторона $AC$ равна стороне $BC$, так как по условию $\triangle ABC$ — равнобедренный с основанием $AB$.
• Сторона $AD$ равна стороне $BD$, так как по условию $\triangle ABD$ — равнобедренный с основанием $AB$.
• Сторона $CD$ является общей для обоих треугольников.

Следовательно, $\triangle ACD \cong \triangle BCD$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. В частности, угол, образованный сторонами $AC$ и $CD$, равен углу, образованному сторонами $BC$ и $CD$, то есть $\angle ACD = \angle BCD$.

Теперь рассмотрим равнобедренный треугольник $\triangle ABC$. Прямая, проходящая через точки $C$ и $D$, содержит биссектрису угла $\angle ACB$, так как $\angle ACD = \angle BCD$.

По свойству равнобедренного треугольника, биссектриса, проведенная из вершины к основанию, является также медианой и высотой.

Таким образом, прямая $CD$ содержит медиану треугольника $\triangle ABC$, проведенную к основанию $AB$. По определению, медиана делит противоположную сторону пополам.

Следовательно, прямая $CD$ проходит через середину отрезка $AB$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.