Номер 680, страница 177 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 3. Четыре замечательные точки треугольника - номер 680, страница 177.

Условие.

680 Срединные перпендикуляры к сторонам $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $D$ стороны $BC$. Докажите, что:

а) точка $D$ — середина стороны $BC$;

б) $\angle A = \angle B + \angle C$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

а) По свойству серединного перпендикуляра, любая его точка равноудалена от концов отрезка.

Поскольку точка $D$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $AB$, то она равноудалена от вершин $A$ и $B$. Это означает, что $DA = DB$.

Аналогично, поскольку точка $D$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $AC$, она равноудалена от вершин $A$ и $C$. Это означает, что $DA = DC$.

Из равенств $DA = DB$ и $DA = DC$ следует, что $DB = DC$. Так как точка $D$ лежит на стороне $BC$, то она является ее серединой. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что точка $D$ — середина стороны $BC$.

б) Из доказательства в пункте а) мы имеем равенства $DA = DB$ и $DA = DC$.

Рассмотрим треугольник $ADB$. Так как $DA = DB$, он является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle DAB = \angle DBA$. Обозначим $\angle DBA$ как $\angle B$, тогда $\angle DAB = \angle B$.

Рассмотрим треугольник $ADC$. Так как $DA = DC$, он также является равнобедренным. Углы при основании этого треугольника равны, следовательно, $\angle DAC = \angle DCA$. Обозначим $\angle DCA$ как $\angle C$, тогда $\angle DAC = \angle C$.

Угол $A$ треугольника $ABC$, то есть $\angle BAC$, является суммой углов $\angle DAB$ и $\angle DAC$:

$\angle BAC = \angle DAB + \angle DAC$.

Подставив в это равенство найденные соотношения, получаем:

$\angle A = \angle B + \angle C$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $\angle A = \angle B + \angle C$.