Номер 674, страница 177 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 3. Четыре замечательные точки треугольника - номер 674, страница 177.

Условие.

674 Из точки $M$ биссектрисы неразвёрнутого угла $O$ проведены перпендикуляры $MA$ и $MB$ к сторонам этого угла. Докажите, что $AB \perp OM$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Рассмотрим треугольники $\triangle OAM$ и $\triangle OBM$.

По условию задачи, $OM$ является биссектрисой неразвёрнутого угла $O$, следовательно, $\angle AOM = \angle BOM$.

Также по условию, из точки $M$ проведены перпендикуляры $MA$ и $MB$ к сторонам угла. Это означает, что $MA \perp OA$ и $MB \perp OB$, из чего следует, что $\angle OAM = \angle OBM = 90^\circ$.

Таким образом, треугольники $\triangle OAM$ и $\triangle OBM$ являются прямоугольными. Сравним их:

• Гипотенуза $OM$ у них общая.
• Острый угол $\angle AOM$ равен острому углу $\angle BOM$.

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle OAM$ и $\triangle OBM$ равны по гипотенузе и острому углу ($\triangle OAM \cong \triangle OBM$).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих катетов: $OA = OB$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle AOB$. Так как у него две стороны равны ($OA = OB$), он является равнобедренным с основанием $AB$.

В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине (в нашем случае это луч $OM$, являющийся биссектрисой угла $\angle AOB$) является также и высотой, проведённой к основанию.

Поскольку $OM$ является высотой в треугольнике $\triangle AOB$, то по определению высоты $OM$ перпендикулярна основанию $AB$.

Итак, $AB \perp OM$, что и требовалось доказать.

Ответ: Что и требовалось доказать.