Номер 667, страница 172 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 2. Центральные и вписанные углы - номер 667, страница 172.

Условие.

667 ■ Диаметр $AA_1$ окружности перпендикулярен к хорде $BB_1$ и пересекает её в точке $C$. Найдите $BB_1$, если $AC=4$ см, $CA_1=8$ см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Согласно свойству пересекающихся хорд в окружности, произведение длин отрезков, на которые точка пересечения делит одну хорду, равно произведению длин отрезков, на которые та же точка делит другую хорду. В нашем случае хорды $AA_1$ и $BB_1$ пересекаются в точке $C$. Таким образом, выполняется равенство:

$AC \cdot CA_1 = BC \cdot CB_1$

Из условия известно, что диаметр $AA_1$ перпендикулярен хорде $BB_1$. По свойству, диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам. Следовательно, точка $C$ является серединой хорды $BB_1$, и отрезки $BC$ и $CB_1$ равны:

$BC = CB_1$

Тогда равенство для пересекающихся хорд можно переписать в виде:

$AC \cdot CA_1 = BC \cdot BC = BC^2$

Подставим в это уравнение известные значения $AC = 4$ см и $CA_1 = 8$ см:

$BC^2 = 4 \cdot 8 = 32$

Найдем длину отрезка $BC$, извлекая квадратный корень:

$BC = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$ см.

Поскольку точка $C$ делит хорду $BB_1$ пополам, ее полная длина равна удвоенной длине отрезка $BC$:

$BB_1 = 2 \cdot BC = 2 \cdot 4\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ см.

Ответ: $8\sqrt{2}$ см.