Номер 665, страница 171 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 2. Центральные и вписанные углы - номер 665, страница 171.

Условие.

665 Вершины треугольника $ABC$ лежат на окружности. Докажите, что если $AB$ — диаметр окружности, то $\angle C > \angle A$ и $\angle C > \angle B$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Рассмотрим треугольник $ABC$, вписанный в окружность. По условию, его сторона $AB$ является диаметром этой окружности.

Угол $\angle C$ треугольника $ABC$ является вписанным углом, опирающимся на диаметр $AB$. Согласно свойству вписанного угла, угол, опирающийся на диаметр (или на полуокружность), является прямым. Следовательно, $\angle C = 90^\circ$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для треугольника $ABC$ справедливо равенство:
$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$.

Подставим в это равенство значение $\angle C = 90^\circ$:
$\angle A + \angle B + 90^\circ = 180^\circ$.
Отсюда следует, что сумма двух других углов равна:
$\angle A + \angle B = 90^\circ$.

Поскольку $\angle A$ и $\angle B$ являются углами треугольника, их градусные меры должны быть положительными: $\angle A > 0^\circ$ и $\angle B > 0^\circ$.
Из соотношения $\angle A + \angle B = 90^\circ$ следует, что каждый из этих углов меньше $90^\circ$:
$\angle A = 90^\circ - \angle B \implies \angle A < 90^\circ$;
$\angle B = 90^\circ - \angle A \implies \angle B < 90^\circ$.

Теперь мы можем сравнить величину угла $C$ с величинами углов $A$ и $B$:
Так как $\angle C = 90^\circ$ и $\angle A < 90^\circ$, то $\angle C > \angle A$.
Так как $\angle C = 90^\circ$ и $\angle B < 90^\circ$, то $\angle C > \angle B$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.