Номер 670, страница 172 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 2. Центральные и вписанные углы - номер 670, страница 172.

Условие.

670 Через точку A проведены касательная AB (B – точка касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках P и Q. Докажите, что $AB^2 = AP \cdot AQ$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Рассмотрим треугольники $\triangle APB$ и $\triangle ABQ$.

Угол $\angle A$ является общим для этих треугольников ($\angle PAB = \angle QAB$).

Угол $\angle ABQ$ образован касательной $AB$ и хордой $BQ$. Согласно теореме об угле между касательной и хордой, его величина равна половине градусной меры дуги $BQ$, заключенной внутри этого угла.

Угол $\angle APB$ (или $\angle QPB$) является вписанным углом, который опирается на ту же дугу $BQ$. Следовательно, его величина также равна половине градусной меры дуги $BQ$.

Таким образом, мы имеем равенство углов: $\angle APB = \angle ABQ$.

Поскольку в треугольниках $\triangle APB$ и $\triangle ABQ$ два угла соответственно равны ($\angle A$ — общий, и $\angle APB = \angle ABQ$), то эти треугольники подобны по двум углам (по первому признаку подобия).

Из подобия треугольников $\triangle APB \sim \triangle ABQ$ следует пропорциональность их соответственных сторон:

$$ \frac{AP}{AB} = \frac{AB}{AQ} = \frac{PB}{BQ} $$

Рассмотрим первую часть этой пропорции:

$$ \frac{AP}{AB} = \frac{AB}{AQ} $$

По основному свойству пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних) получаем:

$$ AB \cdot AB = AP \cdot AQ $$

$$ AB^2 = AP \cdot AQ $$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $AB^2 = AP \cdot AQ$.