Номер 685, страница 178 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 3. Четыре замечательные точки треугольника - номер 685, страница 178.

Условие.

685 Высоты $AA_1$ и $BB_1$ равнобедренного треугольника $ABC$, проведённые к боковым сторонам, пересекаются в точке $M$. Докажите, что прямая $MC$ — серединный перпендикуляр к отрезку $AB$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AB$. Это означает, что боковые стороны равны, $AC = BC$, и углы при основании равны, $\angle CAB = \angle CBA$.

$AA_1$ и $BB_1$ — высоты, проведённые к боковым сторонам $BC$ и $AC$ соответственно. Это значит, что $AA_1 \perp BC$ и $BB_1 \perp AC$. Следовательно, $\angle AA_1B = 90^\circ$ и $\angle BB_1A = 90^\circ$.

Чтобы доказать, что прямая $MC$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$, нужно доказать, что любая точка на этой прямой равноудалена от точек $A$ и $B$. Достаточно доказать это для двух точек прямой $MC$, например, для точек $M$ и $C$.

1. Равноудаленность точки C от A и B

По условию, треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $AB$. Из определения равнобедренного треугольника следует, что $AC = BC$. Таким образом, точка $C$ равноудалена от точек $A$ и $B$.

2. Равноудаленность точки M от A и B

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABA_1$ и $\triangle BAB_1$.

• У них общая гипотенуза $AB$.
• Углы при основании $\angle A_1BA = \angle B_1AB$ (так как это углы при основании равнобедренного треугольника $ABC$).

Следовательно, $\triangle ABA_1 = \triangle BAB_1$ по гипотенузе и острому углу.

Из равенства этих треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle BAA_1 = \angle ABB_1$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle AMB$. В нем углы $\angle MAB$ и $\angle MBA$ являются теми же углами, что и $\angle BAA_1$ и $\angle ABB_1$. Так как $\angle BAA_1 = \angle ABB_1$, то и $\angle MAB = \angle MBA$.

Если в треугольнике два угла равны, то он является равнобедренным. Значит, треугольник $\triangle AMB$ — равнобедренный с основанием $AB$. Следовательно, его боковые стороны равны: $AM = BM$. Таким образом, точка $M$ равноудалена от точек $A$ и $B$.

3. Вывод

Мы установили, что точка $C$ равноудалена от $A$ и $B$, и точка $M$ равноудалена от $A$ и $B$. Множество всех точек, равноудаленных от концов отрезка, есть серединный перпендикуляр к этому отрезку. Поскольку обе точки $M$ и $C$ лежат на этом серединном перпендикуляре, то и вся прямая $MC$, проходящая через эти две точки, является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Прямая $MC$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$.