Номер 724, страница 186 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 4. Вписанная и описанная окружности - номер 724, страница 186.

Условие.

724 Докажите, что если в выпуклом четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

Решение

Пусть в выпуклом четырёхугольнике ABCD

$AB + CD = BC + AD.$ (1)

Точка O пересечения биссектрис углов A и B равноудалена от сторон AD, AB и BC, поэтому можно провести окружность с центром O, касающуюся указанных трёх сторон (рис. 238, а). Докажем, что эта окружность касается также стороны CD и, значит, является вписанной в четырёхугольник ABCD.

Предположим, что это не так. Тогда пря-мая CD либо не имеет общих точек с окружностью, либо является секущей. Рассмотрим первый случай (рис. 238, б).

Проведём касательную C'D', параллельную стороне CD (C' и D' — точки пересечения касательной со сторонами BC и AD). Так как ABC'D' — описанный четырёхуголь-ник, то по свойству его сторон

$AB + C'D' = BC' + AD'.$ (2)

Но $BC' = BC - C'C$, $AD' = AD - D'D$, поэтому из равенства (2) получаем:

$C'D' + C'C + D'D = BC + AD - AB.$

Правая часть этого равенства в силу (1) равна CD. Таким образом, приходим к равенству

$C'D' + C'C + D'D = CD,$

т. е. в четырёхугольнике C'CDD' одна сторона равна сумме трёх других сторон. Но этого не может быть, и, значит, наше предположение ошибочно. Аналогично можно доказать, что прямая CD не может быть секущей окружности. Следова-тельно, окружность касается стороны CD, что и требовалось доказать.

Рис. 238

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 9.

Решение 10.

Решение

Пусть в выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ дано, что суммы длин противоположных сторон равны:

$AB + CD = BC + AD$ (1)

Биссектрисы углов $A$ и $B$ четырёхугольника пересекаются в некоторой точке $O$, так как углы не являются смежными. Точка $O$ равноудалена от сторон $AD$, $AB$ и $BC$. Следовательно, можно построить окружность с центром в точке $O$, которая касается этих трёх сторон. Докажем, что эта окружность касается и четвёртой стороны $CD$.

Доказательство проведём от противного. Предположим, что сторона $CD$ не касается построенной окружности. Тогда возможны два случая: прямая $CD$ либо не имеет с окружностью общих точек, либо является её секущей.

Рассмотрим первый случай: прямая $CD$ не имеет общих точек с окружностью. Проведём касательную $C'D'$ к окружности, параллельную стороне $CD$, так, чтобы точки $C'$ и $D'$ лежали на сторонах $BC$ и $AD$ соответственно. Четырёхугольник $ABC'D'$ является описанным около нашей окружности. По свойству описанного четырёхугольника для него справедливо равенство:

$AB + C'D' = BC' + AD'$ (2)

Поскольку точки $C'$ и $D'$ лежат на отрезках $BC$ и $AD$, мы можем выразить длины $BC'$ и $AD'$ следующим образом: $BC' = BC - C'C$ и $AD' = AD - D'D$. Подставим эти выражения в равенство (2):

$AB + C'D' = (BC - C'C) + (AD - D'D)$

Перегруппируем члены уравнения:

$C'D' + C'C + D'D = BC + AD - AB$

Согласно исходному условию (1), правая часть этого равенства равна $CD$. Таким образом, мы приходим к равенству:

$C'D' + C'C + D'D = CD$

Это равенство означает, что в четырёхугольнике (в данном случае, трапеции) $C'CDD'$ длина одной стороны ($CD$) равна сумме длин трёх других сторон. Такое невозможно, так как по неравенству ломаной длина отрезка, соединяющего две точки, всегда меньше длины любой ломаной, соединяющей те же точки. То есть, должно выполняться $CD < C'C + C'D' + D'D$. Полученное противоречие означает, что наше предположение было неверным.

Аналогично можно доказать, что прямая $CD$ не может быть секущей окружности. В этом случае касательная к окружности, параллельная $CD$, образовала бы описанный четырёхугольник, который содержал бы в себе исходный. Рассуждения привели бы к такому же противоречию с неравенством ломаной.

Так как оба возможных случая (прямая $CD$ не пересекает окружность и является её секущей) приводят к противоречию, остаётся единственная возможность: прямая $CD$ касается окружности. Поскольку окружность касается всех четырёх сторон четырёхугольника $ABCD$, она является вписанной в него, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.