Номер 724, страница 186 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 4. Вписанная и описанная окружности - номер 724, страница 186.

Условие.

724 Докажите, что если в выпуклом четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

Решение

Пусть в выпуклом четырёхугольнике ABCD

$AB + CD = BC + AD.$ (1)

Точка O пересечения биссектрис углов A и B равноудалена от сторон AD, AB и BC, поэтому можно провести окружность с центром O, касающуюся указанных трёх сторон (рис. 238, а). Докажем, что эта окружность касается также стороны CD и, значит, является вписанной в четырёхугольник ABCD.

Предположим, что это не так. Тогда пря-мая CD либо не имеет общих точек с окружностью, либо является секущей. Рассмотрим первый случай (рис. 238, б).

Проведём касательную C'D', параллельную стороне CD (C' и D' — точки пересечения касательной со сторонами BC и AD). Так как ABC'D' — описанный четырёхуголь-ник, то по свойству его сторон

$AB + C'D' = BC' + AD'.$ (2)

Но $BC' = BC - C'C$, $AD' = AD - D'D$, поэтому из равенства (2) получаем:

$C'D' + C'C + D'D = BC + AD - AB.$

Правая часть этого равенства в силу (1) равна CD. Таким образом, приходим к равенству

$C'D' + C'C + D'D = CD,$

т. е. в четырёхугольнике C'CDD' одна сторона равна сумме трёх других сторон. Но этого не может быть, и, значит, наше предположение ошибочно. Аналогично можно доказать, что прямая CD не может быть секущей окружности. Следова-тельно, окружность касается стороны CD, что и требовалось доказать.

Рис. 238

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 9.