Номер 727, страница 187 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 4. Вписанная и описанная окружности - номер 727, страница 187.

Условие.

727. В равнобедренный треугольник вписана окружность с центром $O_1$ и около него описана окружность с центром $O_2$. Докажите, что точки $O_1$ и $O_2$ лежат на серединном перпендикуляре к основанию треугольника.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и равными боковыми сторонами $AB = BC$. Проведем медиану $BM$ из вершины $B$ к основанию $AC$.

По свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведенная к основанию, является одновременно высотой и биссектрисой. Следовательно, $BM \perp AC$ и $BM$ делит угол $\angle ABC$ пополам. Прямая, содержащая медиану $BM$, является осью симметрии треугольника $ABC$.

Рассмотрим положение центра вписанной окружности $O_1$. Центр вписанной окружности (инцентр) — это точка пересечения биссектрис углов треугольника. Поскольку $BM$ является биссектрисой угла $\angle ABC$, то точка $O_1$ должна лежать на прямой $BM$.

Рассмотрим положение центра описанной окружности $O_2$. Центр описанной окружности (циркумцентр) — это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Серединный перпендикуляр к отрезку — это прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная ему. Так как $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой основания $AC$. Так как $BM$ — высота, $BM \perp AC$. Следовательно, прямая, содержащая $BM$, является серединным перпендикуляром к основанию $AC$. Поэтому центр описанной окружности $O_2$ должен лежать на прямой $BM$.

Таким образом, обе точки, $O_1$ и $O_2$, лежат на одной и той же прямой, содержащей медиану $BM$, которая является серединным перпендикуляром к основанию $AC$. Что и требовалось доказать.

Ответ: В равнобедренном треугольнике центры вписанной ($O_1$) и описанной ($O_2$) окружностей лежат на оси симметрии треугольника, которая совпадает с серединным перпендикуляром к его основанию.