Номер 731, страница 188 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 4. Вписанная и описанная окружности - номер 731, страница 188.

Условие.

731. Докажите, что около выпуклого четырёхугольника, образованного при пересечении биссектрис углов трапеции, можно описать окружность.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Для доказательства того, что около выпуклого четырёхугольника можно описать окружность, необходимо и достаточно показать, что сумма его противоположных углов равна $180^\circ$.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD \parallel BC$). Пусть биссектрисы её углов при пересечении образуют выпуклый четырёхугольник $EFGH$. Обозначим точки пересечения биссектрис следующим образом:

• $E$ – точка пересечения биссектрис углов $A$ и $B$;
• $F$ – точка пересечения биссектрис углов $B$ и $C$;
• $G$ – точка пересечения биссектрис углов $C$ и $D$;
• $H$ – точка пересечения биссектрис углов $D$ и $A$.

Рассмотрим треугольник $ABE$, образованный боковой стороной $AB$ и биссектрисами углов $A$ и $B$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Углы $\angle EAB$ и $\angle EBA$ равны половинам углов трапеции $\angle A$ и $\angle B$ соответственно.

$\angle AEB = 180^\circ - (\angle EAB + \angle EBA) = 180^\circ - \left(\frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle B\right) = 180^\circ - \frac{\angle A + \angle B}{2}$

По свойству трапеции, сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$. Для стороны $AB$ имеем: $\angle A + \angle B = 180^\circ$.

Подставим это значение в формулу для угла $\angle AEB$:

$\angle AEB = 180^\circ - \frac{180^\circ}{2} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Угол $\angle HEF$ четырёхугольника $EFGH$ совпадает с углом $\angle AEB$, так как лучи $EH$ и $EA$ лежат на одной прямой (биссектрисе угла $A$), а лучи $EF$ и $EB$ – на биссектрисе угла $B$. Следовательно, $\angle HEF = 90^\circ$.

Аналогично рассмотрим треугольник $CDG$, образованный боковой стороной $CD$ и биссектрисами углов $C$ и $D$. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне $CD$, также равна $180^\circ$: $\angle C + \angle D = 180^\circ$.

Угол $\angle CGD$ в треугольнике $CDG$ равен:

$\angle CGD = 180^\circ - \left(\frac{1}{2}\angle C + \frac{1}{2}\angle D\right) = 180^\circ - \frac{\angle C + \angle D}{2} = 180^\circ - \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$.

Угол $\angle HGF$ четырёхугольника $EFGH$ совпадает с углом $\angle CGD$. Следовательно, $\angle HGF = 90^\circ$.

Теперь найдём сумму противоположных углов $\angle HEF$ и $\angle HGF$ четырёхугольника $EFGH$:

$\angle HEF + \angle HGF = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.

Поскольку сумма противоположных углов четырёхугольника $EFGH$ равна $180^\circ$, около него можно описать окружность. Что и требовалось доказать.

Ответ: Сумма двух противоположных углов (которые оказываются прямыми) четырёхугольника, образованного биссектрисами углов трапеции, равна $180^\circ$, следовательно, по признаку вписанного четырёхугольника, около него можно описать окружность.