Номер 735, страница 188 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 4. Вписанная и описанная окружности - номер 735, страница 188.

Условие.

735. В трапецию с основаниями $a$ и $b$ можно вписать окружность и около этой трапеции можно описать окружность. Найдите радиус вписанной окружности.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дана трапеция с основаниями $a$ и $b$ и боковыми сторонами $c$ и $d$.

1. По условию, около трапеции можно описать окружность. Это возможно только в том случае, если трапеция является равнобедренной. Следовательно, ее боковые стороны равны: $c = d$.

2. По условию, в трапецию можно вписать окружность. Это возможно только в том случае, если суммы ее противоположных сторон равны. Для нашей трапеции это означает, что сумма оснований равна сумме боковых сторон: $a + b = c + d$.

Объединяя оба условия, получаем:
$a + b = c + c = 2c$
Отсюда находим длину боковой стороны: $c = \frac{a+b}{2}$.

3. Радиус вписанной в трапецию окружности $r$ равен половине ее высоты $h$: $r = \frac{h}{2}$. Найдем высоту трапеции.

Проведем высоту из вершины меньшего основания к большему основанию. Получим прямоугольный треугольник, у которого:

• гипотенуза — это боковая сторона трапеции $c$;
• один катет — это высота трапеции $h$;
• другой катет равен полуразности оснований: $\frac{|a-b|}{2}$.

По теореме Пифагора: $c^2 = h^2 + \left(\frac{a-b}{2}\right)^2$.
Выразим отсюда квадрат высоты: $h^2 = c^2 - \left(\frac{a-b}{2}\right)^2$.
Подставим ранее найденное выражение для $c$:
$h^2 = \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 - \left(\frac{a-b}{2}\right)^2$
Используем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:
$h^2 = \frac{(a+b)^2 - (a-b)^2}{4} = \frac{(a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2)}{4}$
$h^2 = \frac{a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2}{4} = \frac{4ab}{4} = ab$
Следовательно, высота трапеции равна $h = \sqrt{ab}$.

4. Теперь найдем радиус вписанной окружности:
$r = \frac{h}{2} = \frac{\sqrt{ab}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{ab}}{2}$