Номер 728, страница 187 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 4. Вписанная и описанная окружности - номер 728, страница 187.

Условие.

728 Докажите, что если около ромба можно описать окружность, то этот ромб— квадрат.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дан ромб, около которого можно описать окружность.

Для того чтобы около четырёхугольника можно было описать окружность, необходимо и достаточно, чтобы сумма его противолежащих углов была равна $180^\circ$.

Пусть углы нашего ромба равны $\alpha, \beta, \gamma, \delta$. Поскольку это ромб, его противолежащие углы равны:
$\alpha = \gamma$
$\beta = \delta$

Так как ромб вписан в окружность, то суммы его противолежащих углов равны $180^\circ$:
$\alpha + \gamma = 180^\circ$
$\beta + \delta = 180^\circ$

Подставим в эти равенства условия равенства углов ромба:
$\alpha + \alpha = 180^\circ \Rightarrow 2\alpha = 180^\circ \Rightarrow \alpha = 90^\circ$
$\beta + \beta = 180^\circ \Rightarrow 2\beta = 180^\circ \Rightarrow \beta = 90^\circ$

Отсюда следует, что все углы ромба равны $90^\circ$:
$\alpha = \gamma = 90^\circ$
$\beta = \delta = 90^\circ$

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Если у ромба все углы прямые, то по определению он является квадратом.
Таким образом, если около ромба можно описать окружность, то этот ромб — квадрат. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.